Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Если бы Платон писал сегодня, он, возможно, назвал бы все это метаматематикой и металогикой 1930-х годов. Две простые иллюстрации его обращения к математике для прояснения метафизического аргумента встречаются в «Меноне» и «Фаэдо». В первом задается вопрос, можно ли научить добродетели, в последнем – бессмертна ли душа. «Как принято в геометрии», гипотезы высказываются, их выводы анализируются, словно кто-то пытается доказать гипотетическую теорему. Оба аргумента будут подытожены в следующей главе. Второй, возможно, самый доступный пример такого рода очевидности, которая вдохновила Платона изобрести его Вечные идеи.

В случае с Платоном можно проследить неизменную догму, что математика должна формировать основу солидного образования. По возвращении в Афины после своих путешествий в Италию и на Восток Платон остро почувствовал недостаток подготовки мальчиков Греции по арифметике и геометрии по сравнению с глубоким изучением материала по этим полезным предметам египетских школьников. Но он не долго занимался базовой полезностью. Так, в своей «Республике» он описал интенсивное математическое обучение для стражей своего идеального города, потому что, как он утверждал, все ремесла и отрасли знания необходимым образом включают число и расчеты. Отмечая, что существует не так много предметов столь сложных для среднего ума, как математика (в частности, арифметика), он ободрял робких, вселяя в них надежду, что число, когда его изучают ради него самого, становится чарующим и чем более абстрактна арифметика, тем лучше для души. На менее высоком уровне, говорят, арифметика и геометрия незаменимы в военной тактике, позволяя командующему использовать его войска для победы. В данной работе, насколько это касается арифметики, Платон, возможно, предпринял попытку визуализировать квадратные, треугольные и прямоугольные числа пифагорейцев в батальном построении. Этот боевой порядок уже использовался. Но, как и всегда, Платон заканчивал на идеалистической ноте: единственной правдивой и заслуживающей внимания целью изучения математики является продвижение души в направлении Сущего.

Если бы он жил сейчас, Платон не поладил бы с теми психологами, которые утверждают, будто доказали статистически, что нет или почти нет влияния изучения одного предмета на изучение другого и что вера наших отцов в математику как главную дисциплину не имеет под собой почвы. Какое бы допущение ни оказалось доказанным фактом в этой до некоторой степени желчной перепалке по вопросу значимости математики в базовом образовании, не возникает сомнения, что авторитет Платона усилил пифагорейское требование об усилении образования в области азов математики и более двух тысяч лет способствовал сохранению в школах арифметики и геометрии.

Если бы его спросили, что есть друг, он бы ответил: «Второе я». Чистая математика никогда не имела лучшего друга, чем Платон, а Платон – лучшего друга, чем чистая математика.

Перейдем к краткому изложению некоторых очевидных свойств, высказанных Платоном в поддержку «математического реализма». Во-первых, некоторые детали технического языка. Поскольку его Идеи оставались для Платона продолжающимися во времени «реальностями», его система стала разновидностью «реализма», несмотря на его убежденность в идеальности «сущностей», то есть Идей, находящихся за пределами прямого опыта и органов чувств.

Краеугольным камнем платоновского математического реализма является доктрина припоминания и размышления. Схематически она представлена в диалоге «Менон». Сократ и Менон спорят о возможности обучения добродетели. Сократ обязался доказать, что «обучению нет места» в том смысле, что один ум сообщает или пересылает знания другому, «только размышление». Он просит Менона, одного из его «бесчисленных сопровождающих лиц», послужить грешным телом в его наглядной демонстрации. Сократу требовался предположительно необразованный, но смышленый мальчик-раб, понимающий по-гречески и «рожденный в доме».

– Прислушайся к вопросам, которые я задаю ему, и определи, учится он у меня или только запоминает, – обращается он к Менону.

Изобретательными наводящими вопросами и простыми геометрическими диаграммами Сократ предлагает мальчику «запомнить» отдельные простейшие математические сведения. Например, он заставляет его посчитать 3 × 3 = 9; 2 × 4 = 8, прочитать на диаграмме, что 8 не является квадратом 3. Его неспособность показать квадратный корень из 2 на диаграмме остановила мальчика. Но он «запомнил», что квадрат удвоенного числа не является дважды квадратом этого числа, и случайно показал корень квадратный из восьми. После дальнейших уговоров Сократ попросил Менона сообщить ему выводы. Они имели большое значение.

Согласно Сократу, опыт показал, что слуга не знал, какие знания хранятся в его голове до поры до времени, пока они не потребуются. Способность мальчика дать правильные ответы на вопросы доказывает, что математические истины, спящие в его мозгу, «были просто разбужены в нем» во время опроса, «как под гипнозом». Далее, «знания, которые он теперь имеет» он должен «или накапливать, или навсегда оставить при себе». Но поскольку мальчик никогда не ходил в школу и не изучал математику, следует отдать предпочтение второй возможности.

Сократ, кажется, сам поверил, что сформулировал свой тезис. Математические знания непреходящи. Души владеют ими до нашего рождения, забывая их при входе в нашу жизнь, но их можно вызвать усилием воли при наличии соответствующей потребности. В частности, математика не плод творения ума, а только «памяти». И следует важный вывод: «…и если истина каждой вещи всегда существует в душе, значит, душа бессмертна. По этой причине веселитесь и взывайте, чтобы достать то, чего вы не знаете или, часом, позабыли». На что Менон (не названный в диалоге скептиком) ответил:

– Я чувствую, что мне нравится то, что вы говорите. Не очень искушенный в правилах поведения, Сократ ответил:

– И мне, Менон, нравится то, что я сказал. Известнейшим образцом доктрины припоминания на чисто интуитивной основе стала «Ода намеку на бессмертие» Вордсворта. Подобно большинству поэтов, подпавших в юности под влияние реализма Платона, Вордсворт не верил, в отличие от верившего Сократа (Платона?), что логические и научные знания были унаследованы вместе с душой. Реализм в понимании Платона исходит от эмоций, а не от разума. Мистику, математику и прочее найти еще можно. Одно из предназначений мистицизма – моментальное знание о реальности прямой интуицией без посредничества чувств или разума. Настоящая мистика не нуждается в доказательствах, как у Сократа. Для него они не нужны, неуместны и бессмысленны.