Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Возникшие трудности были сигналом тревоги для тех специалистов, которые «отвечали» за основания математики. Источник противоречия, возникшего у Фреге, был, очевидно, в самом построении рассуждений. Поэтому надо было по-новому взглянуть на весь процесс математического доказательства и прежде всего проанализировать лежащие в его основе допущения. Так началась великая переоценка математических ценностей, которая далеко еще не закончилась и к настоящему времени, но уже дала ценнейшие плоды не только в математике и логике, но и в осмысливании проблем человеческого познания и его возможностей в создании машинных «усилителей интеллекта».

Мы уже сказали, что первой математической реакцией на трудности, обнаруженные при последовательном проведении теоретико-множественной установки в математике, они выразились не только в парадоксе Рассела, но и в ряде других формально-логических противоречий в канторовской теории, некоторые из которых были сформулированы даже раньше, чем противоречие в системе Фреге, были «ремонтные меры», предпринятые Расселом. Но этот мыслитель продолжал стоять на теоретико-множественной позиции.

Поэтому естественно, что нашлись люди, которые сочли эти меры полумерами и призвали математический мир пойти в отказе от прежнего образа мыслей гораздо дальше. Реформы ничего не дадут, провозгласили они, нужна революция! Одним из наиболее «левых» был голландский математик, уже получивший к тому времени известность своими работами в области топологии, Луитцен Ян Эгбертус Брауэр (1881—1966) [1]

При изложении платформы Брауэра возникают большие трудности, связанные с несколькими причинами. Брауэр все свои главные статьи по философии математики писал по-голландски, употребляя, как заявляют переводчики, специфические и тяжеловесные выражения, которым трудно найти эквиваленты в других языках. Он, по-видимому, не считал, что его философско-математические убеждения можно достаточно ясно объяснить другим людям; скорее, он носил в себе определенные ощущения того, какой, по его мнению, должна быть математика. Позиция Брауэра менялась и уточнялась с течением времени, и нет никакой гарантии, что многочисленные ее толкования достаточно правильны.

Попытаемся все же выделить некоторые главные пункты философско-математических установок Брауэра и его школы.

1. Единственным источником, порождающим математику, Брауэр считал человеческий интеллект, и в этом был солидарен с Декартом [2].

2. Особенность разума, дающая ему возможность создать математику, это некое ощущение времени, вернее, способность различать два последовательных момента времени как два разных момента. Эта способность порождает, в свою очередь, способность вести счет натуральным числам. Таким образом, у Брауэра натуральные числа выступают как нечто первичное, непосредственно данное глубинной человеческой интуиции. Именно из-за этого математика школы Брауэра названа интуиционистской математикой , а логика, принятая в этой математике» — интуиционистской логикой.

3. Из второго пункта вытекает, что «классическая» логика не является чем-то первоначальным, как ошибочно полагают логицисты. В глубинной интуиции даны лишь конечные образования — натуральные числа. На каком же основании классическую логику, которая могла возникнуть лишь как отражение опыта оперирования с конечными объектами, распространяют на бесконечные множества? К бесконечным множествам не всегда применим закон исключенного третьего (принцип: из двух высказываний, одно из которых есть отрицание другого, по крайней мере одно истинно).

Этот важнейший пункт брауэровской критики классической логики и теоретико-множественной математики требует пояснения. Воспользуемся известным примером. Рассмотрим высказывание(*) «В десятичном представлении числа я либо имеется девять нулей подряд, либо не имеется». Это высказывание подпадает под схему закона исключенного третьего (а V ~а) и с «классических» позиций должно быть признано верным.

Но с точки зрения Брауэра это высказывание может иметь смысл лишь в том случае, если у нас есть способ проверить, какая из двух альтернатив — а или ~а — имеет место [3]. В данном же случае этого сделать нельзя: вычисляя значение числа π со все большей точностью, мы можем в конце концов добраться до «пакета» из девяти нулей — и тогда подтвердится первая альтернатива (что и будет означать истинность высказывания (*));но может случиться, что процесс вычисления будет продолжаться неограниченно долго — и это вовсе не будет означать справедливости второй альтернативы. Таким образом, вопрос о верности рассматриваемого высказывания (*) остается открытым. Конечно, если бы у нас было независимое от этого процесса вычисления доказательство второй альтернативы, то истинность данного суждения тоже была бы установлена. Но наука в настоящее время им не располагает. Таким образом, закон исключенного третьего как «общезначащую» логическуй схему следует отвергнуть.

Отказ от всеобщности «исключения третьего» в применении к бесконечным совокупностям влечет за собой серьезные перемены в логике. В частности, из отвержения альтернативы ~а — то есть доказательства того, что верно ~~a — заключать к верности альтернативы а по Брауэру в общем случае недопустимо [4]. Например, если предположение, что среди элементов некоторого бесконечного множества не существует объекта с определенными свойствами, ведет к нелепости (и, значит, отвергается), то отсюда, тем не менее, не следует, что объект с этими свойствами существует.

4. С предшествующим тезисом тесно связана конструктивистская установка интуиционистской математики. Поскольку принцип исключенного третьего, примененный к бесконечным множествам, не гарантирует правильности рассуждения, единственным способом доказательства существования математических объектов является их фактическое построение. Обратим внимание на этот важнейший тезис — зародыш другого современного направления в математике — конструктивное направления.

5. Хотя математика создается разумом, она приложима к окружающему миру. Математические символы не лишены содержательного смысла; хотя они указывают на определенные объекты, данные в интуиции, объекты эти тесно связаны с реальными процессами, происходящими во Вселенной. Интуицию, однако, нельзя выразить никакими строгими определениями, и поэтому интуиционисты отказываются эксплицировать общее понятие «способа построения», полагая, что невозможно заранее предвидеть все приемы рассуждения, которые могут оказаться интуитивно убедительными.

Заметим, что в этом пункте от интуиционизма резко отличается конструктивное направление в математике, всходящее из тезиса, что конструктивная деятельность в этой науке адекватно передается понятием алгоритма (см. гл. 7).