Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Теперь о другой стороне программы Гильберта — о тех его идеях и надеждах, которые не оправдались и оказались иллюзорными.

У Гильберта было глубокое убеждение в том, что можно «финитными» (конечными) средствами доказать непротиворечивость арифметики, после чего и вся математика — с анализом и всеми ее «идеальными элементами» — станет в логическом смысле абсолютно истинной и превратится в инструмент исследования стопроцентной надежности (что не будет, конечно, означать прекращения развития математической науки). Что же такое «финитные средства»? Это — аппарат, не апеллирующий к канторовской идее бесконечности (когда бесконечные множества мыслятся как актуальные, то есть «ставшие», как некие законченные образования, данные сразу всеми своими элементами) и не содержащий «идеальных элементов», схемы и правила рассуждений которого в силу этого вполне ясны, обозримы и понимаются всеми одинаковым образом.

Приведем пример финитного доказательства непротиворечивости, который позволит конкретно представить существо подхода Гильберта. Докажем, что дедуктивно-аксиоматическая система исчисления высказываний, описанная в главе 4 (система Фреге), непротиворечива, то есть, что в ней нельзя доказать в качестве теоремы некоторую формулу а и ее отрицание ~α [18].

Доказательство любой теоремы в данной системе можно представить как цепочку формул, каждая из которых есть либо аксиома, то есть формула, подпадающая под какую-либо схему аксиом, либо получена из каких-либо формул, стоящих в цепочке ранее, по модесу поненсу; последняя формула цепочки есть доказываемая теорема. В силу этого самое первое применение правила вывода должно обязательно относиться к аксиомам. В этом смысле можно сказать, что все доказательства — выводы теорем — начинаются на аксиомах, а затем с помощью правила модус поненс получаются новые формулы (причем каждая из них есть теорема). Но поскольку любая формула, подпадающая под какую-либо схему аксиом (аксиома), как мы установили, тождественно-истинна, а модус поненс этой истинности не «портит», то свойство «быть тождественно-истинной формулой» становится в нашей системе «наследственным» — присущим всем теоремам. Это свойство похоже на некий генетический признак, непременно передающийся от родителей к детям. При таком положении дел можно с полной уверенностью утверждать, что среди даже самых дальних потомков прародителей не встретятся экземпляры, лишенные наследуемого признака.

Рассмотрим теперь некие две формулы а и ~а. Если обе они — доказуемые формулы, то есть «потомки» аксиом, порожденные посредством модуса поненса, то они должны быть обе тождественно-истинными. Но это невозможно: из табличного определения отрицания следует, что если одна из этих формул будет тождественно-истинной, то другая окажется тождественно-ложной. Но тождественно-ложная формула не может быть выводимой из аксиом — доказуемой (так как если бы она была доказуемой, то была бы тождественно-истинной и, значит, не тождественно-ложной). Следовательно, одна из формул, а или ~а, недоказуема.

Это рассуждение является совершенно «финитным», оно не использует ни идеи канторовской актуальной бесконечности, ни «идеальных элементов» [19].

Гильберт хотел осуществить такого же рода (мета)доказательство непротиворечивости для более сложной дедуктивной системы — арифметики. Для этого арифметику нужно было построить как аксиоматически-дедуктивную систему и показать, что, пользуясь разрешенными в ней правилами переработки знакосочетаний, мы никогда не выведем в качестве теорем а и ~а. Поскольку арифметика занимается установлением соотношений не только для конкретыых натуральных чисел, но и формулирует законы, которым подчиняются все натуральные числа (например, что а + b = b + а, каковы бы ни были a и b) или какие-то (бесконечные) их множества, и утверждения о существовании чисел с определенными свойствами, то соответствующая формальная система должна быть основана на логике предикатов, в которой имеются правила обращения с кванторами общности V («все») и существования Э («существует»).

Интересно, что у Гильберта в течение нескольких лет, по-видимому, имелось чувство уверенности, что данная проблема вот-вот будет решена, что осталось совсем немного усилий, и непротиворечивость, арифметики будет строго установлена начертанным им в 1927 году на Математическом семинаре в Гамбурге путем [20]. Но шли годы, а дело не сдвигалось с места. А в 1931 году молодей австрийский математик Курт Гёдель опубликовал найденное им доказательство (мета)теоремы, которая многими рассматривается как поворотный пункт в науке об основаниях математики и в математической логике. Методами, признанным» подавляющим большинством математиков совершенно строгими, Гёдель доказал, что в формализованной арифметической системе есть такие формулы, которые по своему содержанию должны быть либо истинными, либо ложными, но которые не могут быть в этой системе ни доказаны, ни опровергнуты. Но это еще не все. Опираясь на этот результат, названный Теоремой о неполноте, Гёдель доказал, что если арифметика непротиворечива, то ее непротиворечивость нельзя; доказать формальными средствами.

Означало ли это крах программы Гильберта? В той своей части, которая касается доказательства непротиворечивости арифметики «финитными» средствами, замысел Гильберта, конечно рухнул. Однако остается открытым следующий путь: так расширять понятие «дозволенных методов доказательства, чтобы теорема Гёделя уже не относились к этим методам. Как писал выдающийся советский математик П. С Новиков(1901—1975), нет «никаких оснований предполагать, что границы, которые кладет финитизм Гильберта, действительно необходимы для того, чтобы исключить вызывающие сомнения элементы математического мышления. Возможен дальнейший анализ предмета математики и выделения в нем надежных непротиворечивых средств, выходящих за рамки фанитизма и все же достаточно сильных для того, чтобы решать интересующие, нас вопросы. Но выход за рамки финитизма не уничтожает основной идеи метода, предложенного Гильбертом и состоящего в формализации тех математических систем, которые подлежат обоснованию, средствами некоторого круга понятий, в силу тех или других соображений принятого в качестве основы» [21].

На теорему Гёделя о неполноте ссылается множество людей. Ее приводят как аргумент в пользу своих утверждений физики, инженеры, философы, психологи, биологи, моралисты, педагоги и даже искусствоведы. Но как часто бывает с эпохальными результатами, все говорят о теореме Гёделя, но очень мало кто имеет о ней адекватное представление и еще меньше таких, которые читали её аутентичный текст. До сих пор не имеется русского перевода знаменитой статьи. Это объясняется тем, что в свое время статья Гёделя интересовала только специалистов по математической логике, а все они тогда владели немецким языком. Когда же значение теоремы Гёделя стало выходить за рамки математики, появились компактные и методологически более совершенные ее изложения.