Энрике Грасиан - Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

* * *

Таким образом, когда мы используем описанный выше трюк, чтобы «увидеть» форму четырехмерного объекта, на самом деле мы хотим лишь получить четкое представление о том, как четырехмерный объект пересекается с трехмерным пространством. Это не даст нам точного представления о форме — да мы и знаем, что для нас это невозможно, — но это даст нам решения соответствующего уравнения.

И, как мы увидим в следующей главе, это именно то, что предложил Риман, когда анализировал дзета-функцию, которая в конечном итоге поможет навести порядок во множестве простых чисел.

Немецкий математик Бернхард Риман(1826–1866) был образцом математической строгости, а индиец Сриниваса Рамануджан(1887–1920) является примером торжества чистейшей интуиции. Они оба занимались простыми числами, и оба имели успехи и неудачи. В любом случае, их жизнь и научная деятельность ярко иллюстрируют два типа математической гениальности.

Риман был задающим ритм музыкантом, которому аплодирует публика, состоящая из простых чисел. Однако его ритм был очень сложен. Научные открытия, особенно в области математики, во многом зависят от уже разведанной территории, от уже известных знаний. Первооткрыватель становится кем-то вроде горного проводника. Когда просто бродишь по миру чисел, важно не потерять направления, но совсем другое дело — начать восхождение. Такие походы требуют больших усилий, и продвигаться нужно более медленными темпами, чтобы восхождение было не слишком утомительным. Однако наступает момент, когда для дальнейшего восхождения требуется определенная подготовка и соответствующее оборудование.

Восхождение на двухкилометровую вершину вовсе не то же самое, что восхождение на высоту 4000 метров. С Риманом мы, безусловно, находимся в четырехкилометровой категории.

Георг Фридрих Бернхард Риман родился в деревне Брезеленц, в земле Нижняя Саксония. Возможно, из-за своей крайней застенчивости и почти патологического страха перед публичными выступлениями он не пошел по стопам отца, лютеранского пастора. Фридрих Константин Шмальфусс, директор школы, где учился молодой Риман, разрешил мальчику взять из своей личной коллекции книгу Лежандра по теории чисел — математический трактат чрезвычайной сложности. Риман за неделю прочитал ее от корки до корки и, возвращая книгу, сказал, что нашел ее очень интересной. Он не лгал. Годы спустя Риман возьмет из этой книги то, что ему нужно для создания своей теории простых чисел, сформулировав тем самым одну из самых известных гипотез в истории математики.

В возрасте 19 лет Риман прослушал несколько лекций математика Морица Штерна в Гёттингенском университете. Именно там он впервые познакомился с работами Гаусса. Через год он перешел в Берлинский университет, где преподавали Петер Густав Лежён-Дирихле, Карл Якоби, Якоб Штайнер и Фердинанд Эйзенштейн. Тесное сотрудничество Римана с Эйзенштейном привело к появлению одной из наиболее важных математических теорий XIX в. — теории функций комплексного переменного. Она стала одним из основных инструментов, которые позволили Риману сформулировать свою гипотезу о простых числах.

Бернхард Риман

* * *

ДОКТОРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

«Думаю, эта диссертация откроет для меня новые перспективы. Также я надеюсь научиться писать быстро и свободно, особенно если я чаще буду появляться в [светском] обществе, и у меня будет возможность читать лекции. Так что настрой у меня хороший». Эти слова из письма Римана своему отцу относятся к докторской диссертации, которую он в возрасте 25 лет представил к защите в Гёттингенском университете. Она называлась «Основания теории функций комплексного переменного» и была восторженно принята Гауссом, живой легендой математики того времени.

* * *

Дзета-функция

Как говорилось в третьей главе, Эйлер дал определение дзета-функции с помощью гармонического ряда:

Швейцарский математик уже знал, что данная сумма бесконечна при х , меньших или равных 1. Он также смог вычислить значения для х = 2 и х = 4:

ζ( 2) = π 2/6; ζ( 4) = π 2/ 90

Также Эйлер установил связь между этой функцией и простыми числами (так называемое «эйлерово произведение»). Эта связь помогла ему и другим математикам доказать, что множество простых чисел бесконечно, что уже было показано Евклидом с помощью более элементарного метода.

С другой стороны, Гаусс сформулировал гипотезу, что при больших значениях х

где π( х ) — число простых чисел, меньших, чем х .

Риман поставил перед собой задачу исследовать гипотезу Гаусса с помощью дзета-функции Эйлера и решил, что наиболее перспективным подходом будет продолжить эту функцию на область простых чисел. Для этого он разработал метод аналитического продолжения. Строго говоря, аналитическое продолжение — более правильное название для дзета-функции Римана:

Вторая часть выражения, бесконечное произведение, распространяется на все простые числа р , используя эйлерово произведение, и таким образом определяет связь дзета-функции с простыми числами. Напомним, что это произведение было получено как прямое следствие основной теоремы арифметики.

Как уже говорилось, Гаусс ввел функции комплексного переменного, представляемые в трехмерном пространстве. Риман сделал следующий шаг и определил то, что позже станет называться комплексными функциями комплексного переменного. Проблема заключалась в том, что они требуют четырехмерного пространства и поэтому не могут быть наглядно представлены. Используя особые приемы, похожие на описанные в предыдущей главе, Риман получил трехмерное изображение нулей дзета-функции: поверхность, состоящую из регулярно повторяющихся холмов и впадин.

У этой функции есть два типа «нулей», то есть таких значений аргумента, которые при подстановке в функцию обращают ее в ноль. Первый тип — четные отрицательных числа: х = —2, х = —4, х = —6 …, называемые «тривиальными» нулями.