Энрике Грасиан - Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

В 1975 г. Уитфилду Диффи и Мартину Хеллману, в то время работавшим в Стэнфордском университете, пришла в голову идея асимметричного шифрования, или «шифрования с открытым ключом». Эта система основана на специальных математических функциях, называемых «односторонними функциями с потайным входом», которые позволяют зашифровывать текст, но делают расшифровку практически невозможной без знания используемого кода. Идея состоит в том, что каждый пользователь имеет пару ключей: открытый и закрытый. Если мы хотим отправить кому-то сообщение, мы зашифровываем это сообщение с помощью открытого ключа — то есть ключа, известного всем. Но только человек, имеющий соответствующий закрытый ключ, может расшифровать это сообщение. Одним из преимуществ такого метода является то, что закрытый ключ никогда не передается и поэтому его не нужно постоянно менять в целях безопасности. Идея метода не совсем проста, но мы можем пояснить ее с помощью аналогии. Представьте себе большой магазин, где продаются сотни тысяч банок с краской разного цвета. Возьмем две любые банки и смешаем краску в разных количествах. Пока все просто. Теперь, если мы покажем кому-нибудь получившийся цвет и попросим «расшифровать», какое количество каких красок использовалось изначально, на такой вопрос будет очень трудно ответить.

Именно так работают односторонние функции с потайным входом, которые легко применить в одном направлении, но практически невозможно — в обратном.

Схема, иллюстрирующая алгоритм Диффи — Хеллмана. Имеются два абонента, Алиса и Боб, желающие общаться втайне. Они открыто договариваются о двух числах (простое число ри другое число g, имеющие определенные свойства). И Алиса, и Боб выполняют некоторые операции с этими числами и с еще одним целым числом, которое они держат в секрете, а затем открыто посылают друг другу результаты. Теперь и Алиса, и Боб выполняют с полученным результатом еще одну операцию и получают один и тот же ответ, который будет для них секретным кодом. Потенциальный шпион, перехвативший результаты, посланные Алисой и Бобом, не может сгенерировать секретный код, имея лишь эту информацию.

Предположим теперь, что вместо банок с краской в магазине находятся простые числа. Возьмем любые два, например, 7 и 13, и перемножим их (аналогично смешиванию краски). В результате мы получим 7 х 13 = 91.

Тогда возникает вопрос: можно ли узнать, какие простые числа были перемножены, чтобы в результате получилось 91? Для ответа на него надо взять список простых чисел и проделать несколько проверок. Казалось бы, простое решение, как и в случае определения цвета красок, если в магазине было всего около десятка основных цветов.

Но с простыми числами все намного сложнее.

Например, ни у кого не хватит терпения проверить, что число 1409 305 684 859 является результатом умножения простых чисел 705 967 и 1996 277, особенно если учесть, что эти два простых числа взяты из списка простых чисел между 1 и 2000000, а там таких «всего лишь» 148933. Однако мы живем в эпоху высоких технологий, и, конечно, эту задачу можно довольно быстро решить с помощью хорошей программы и мощного компьютера. Хотя все зависит от того, насколько большой этот магазин красок. Не следует также забывать, что количество простых чисел не просто очень большое, а бесконечное.

Пара простых чисел в приведенном выше примере содержит лишь несколько цифр. Если мы возьмем простые числа, каждое из которых содержит сотни цифр, то время, которое потребуется компьютерной программе на простой перебор всех возможных вариантов — метод «грубой силы», как говорят криптографы, — будет больше, чем предполагаемое время существования Земли.

Простые числа повсеместно используются в нашей повседневной жизни, например, в кредитных картах и персональных компьютерах, поэтому постоянно существует потребность в новых простых числах (чем больше, тем лучше) для генерации секретных кодов. Таким образом, имеется спрос на простые числа, но контроль качества так же важен, как и их производство. Чтобы большому числу присвоить статус простого, его должна проверить специальная организация.

Шифр RSA был опубликован в 1978 г., но повсеместно начал использоваться в качестве метода шифрования лишь в конце 1990 гг. в связи с ростом сети интернет. Поиск больших простых чисел прежде требовал специального программного обеспечения, которое, как правило, можно было купить лишь в специализированных фирмах или в университетах, занимающихся такими исследованиями. Однако экспоненциальный рост вычислительных мощностей и появление более совершенных алгоритмов изменили рынок простых чисел и сделали их гораздо более доступными.

* * *

RSA-129

В апреле 1994 г. шифр RSA-129 потерпел полное фиаско. Он был построен на числе, содержащем 129 цифр, о чем объявили авторы этой системы шифрования, предложив желающим взломать его. Около 600 математиков с помощью 1600 добровольцев, найденных через интернет, работали над проблемой, и в конце концов им удалось разложить это число на множители. Однако было подсчитано, что если все компьютеры в мире будут работать параллельно, чтобы взломать код из 1024 цифр, им потребуется время, равное возрасту Вселенной (13,7 миллиарда лет). А теперь представьте себе, что в шифровании с открытым ключом используются числа, содержащие 128,1024 и даже 2048 цифр! Чем больше цифр использует система шифрования, тем устойчивее она к атакам, хотя это, конечно, замедляет процесс расшифровки.

* * *

Появление логарифмов позволило значительно сэкономить время при выполнении вычислений. Позже появились логарифмическая линейка и первые вычислительные машины, которые использовали вращающиеся цилиндры для выполнения операций сложения и умножения.

Тем не менее, именно компьютеры смогли делать вычисления, выходящие за пределы возможностей человеческого мозга. Машины могли даже имитировать дедуктивные рассуждения — одно из свойств математического мышления. В этот момент некоторые ученые почувствовали, что компьютеры достигли рубежа, к которому до сих пор ни одна машина не подходила. Был ли это правильный путь?

Экспоненциальный рост информационных технологий привел к изменению системы воззрений, сложившейся на протяжении веков. Начали появляться первые вычислительные алгоритмы, способные доказывать теоремы.

Противники компьютерных доказательств приводят два основных аргумента.

Во-первых, такие доказательства невозможно проверить, так как компьютерная программа содержит этапы, которые никакой математик никогда не сможет проконтролировать. Во-вторых, в процессе возможны ошибки из-за сбоев как в аппаратном, так и в программном обеспечении. В большинстве случаев эти ошибки случайны. Одним из способов предотвращения таких ошибок является использование различных программ на разных машинах (чтобы сравнить полученные результаты).