Бизенц Торра - Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления

Знаменитая табличка Плимптон 322, созданная в период с 1824 по 1784 год до н. э., содержит ряд чисел в шестидесятеричной системе счисления, записанных в четыре столбца.

Ровно столько же глиняных фигурок находилось внутри сосуда. В Сузах, городе, который располагался на территории современного Ирана и считается одним из старейших городов мира, были найдены глиняные сосуды с надписями, внутри которых находились различные диски, конусы, шарики и палочки. Когда значение надписей было расшифровано, стало понятно, что они соответствуют определенным числам.

Вавилонская система исчисления была очень развитой. В этом можно убедиться на примере множества табличек, где записана различная информация, связанная с математикой. На многих из них изображены таблицы с числами. Были найдены таблицы умножения, возведения в квадрат и куб, а также таблицы обратных чисел. В некоторых таблицах обратных чисел отсутствуют обратные числа для 7 и 11, которые в системе счисления по основанию 60 записываются бесконечным числом знаков. В других таблицах приводятся приближенные значения этих чисел, большие или меньшие истинных значений. На некоторых были записаны таблицы квадратных корней и степеней чисел. Считается, что таблицы степеней использовались для расчетов логарифмов. Если в таблице не приводилось число, обратное заданному, оно вычислялось с помощью линейной интерполяции чисел, содержащихся в таблице.

Далее приведена таблица умножения на 9, записанная на глиняной табличке, найденной в Ниппуре, которая в настоящее время хранится в Иенском университете. Числа, зафиксированные на табличке, перевела в современную систему счисления историк математики и науки Кристин Пруст. Эта таблица обладает интересными свойствами.

Например, число (1,3), соответствующее умножению 9·7, понимается как 1·60 + 3 = 63; число (7, 30), которому соответствует 9·50, понимается как 7·60 + 30 = 420 + 30 = 450.

В следующем примере, также адаптированном госпожой Пруст, приведена таблица обратных чисел с еще одной таблички, найденной в Ниппуре. В этой таблице 20 означает 20·60 -1= 20/60 = 1/3.

Для вычисления квадратного корня вавилоняне использовали алгоритмический метод, известный в наше время как метод бисекции. Его авторство приписывается многим философам и математикам, среди которых Архит Тарентский и Герон Александрийский. Этот метод также упоминается как метод Ньютона, однако достоверно известно, что его использовали вавилоняне.

Для данного числа N , из которого мы хотим извлечь квадратный корень, находится два приближенных значения а 1 и Ь 1 квадрат одного из которых больше N , другого — меньше. Далее рассчитывается значение а 2 = ( a 1 + b 1 )/2, после чего его квадрат сравнивается с N . Если он больше N , то а 2 заменяет прежнее значение, большее N . Если же он меньше N, а 2 заменяет меньшее из значений. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено число, квадрат которого точно или с достаточной точностью равен N .

Вавилоняне также умели решать системы уравнений и уравнения второй степени с вещественными корнями. Эти задачи упоминаются в текстах, датируемых примерно 2000 годом до н. э. «Протоматематики» Вавилонии также умели решать некоторые уравнения третьей степени. Уравнения вида x 3= а или х 3 + х 2= с решались с помощью таблиц. Более сложные уравнения, имевшие вид ах 3+ Ьх 2= с , сводились к уравнениям первых двух видов.

Анализ вавилонских текстов показывает, что математика была для вавилонян не просто средством решения практических задач. В этом заключается ее фундаментальное отличие от древнеегипетской математики, которая считалась намного более утилитарной. Вавилоняне достигли значительных успехов в арифметике и алгебре, но в отличие от египтян не преуспели в геометрии. Знания геометрии в Вавилонии касались лишь немногих фигур, в частности треугольников и четырехугольников.

* * *

УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ И ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

Уравнения второй степени вида ах 2+ Ьх+ с = 0обычно решаются с помощью формулы

Эта формула позволяет получить вещественные решения, когда дискриминант положителен или равен нулю, то есть выражение Ь 2 — 4асбольше либо равно нулю.

Для решения уравнений вида ах 3+ Ьх 2 = свавилоняне умножали уравнение на ( а 2/ Ь 3) и получали уравнение вида (ах/b) 3 + (ах/b) 2 = са 2/Ь 3Оно решалось с помощью таблиц для уравнений вида х 3+ х 2 = с, после чего рассчитывалось значение х.

* * *

Однако труды вавилонян, посвященные окружностям, сохранились до наших дней. Именно вавилоняне разделили окружность на шесть частей построением окружностей радиуса, равного радиусу исходной окружности. Каждая из этих частей делилась на 60; таким образом, вся окружность делилась на 360 градусов. Так как использовалась шести десятеричная система, то градусы делились на 60 минут, минуты — на 60 секунд. В качестве приближенного значения π использовалось значение π = 3, хотя в табличке, найденной в Сузах, путем сравнения периметра шестиугольника и длины окружности получено значение π = 31/8.

Построение шестиугольника, вписанного в окружность. Сторона шестиугольника равна радиусу окружности.

В древнеегипетской системе счисления для степеней десяти использовались отдельные символы. Так, существовали особые символы для единиц, десятков, сотен и так далее.

Египетская система счисления, в отличие от вавилонской, не была позиционной. Далее мы продемонстрируем иероглифы, соответствующие наиболее часто используемым числам.

Египетская система счисления была аддитивной, в отличие от нашей системы счисления, которая, подобно вавилонской, является позиционной. В аддитивной системе счисления, например, число 3204 представляется в виде 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1. В виде египетских иероглифов оно записывается так: