Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Гамильтон решил «заново выразить» уравнения Лагранжа в терминах положений и импульсов вместо положений и скоростей. Таким образом он намеревался упростить математические методы, необходимые для определения траектории изучаемой частицы. Поскольку положения частиц выражались в обобщенных координатах, Гамильтон вынужден был дать импульсу другое определение, адаптированное для этих координат. Он назвал эти новые импульсы обобщенными импульсами и определил их таким образом, чтобы они совпадали с импульсами Ньютона в случае, когда обобщенные координаты совпадают с координатами в прямоугольной системе.

Гамильтон пытался уравнять импульсы и положения, предположив, что импульс — просто координата. Сделав это, он столкнулся с тем, что количество уравнений, требовавших решения, увеличилось, но сами уравнения при этом стали проще.

Поясним, как скорости заменяются импульсами. Возьмем частицу, брошенную в воздух на определенной скорости. Ее кинетическая энергия определяется следующим образом:

T = m · v 2/2

Теперь заменим скорости импульсами. Мы знаем, что импульс — это произведение массы на скорость:

p = m · v .

Сократив скорость, получаем:

v = p / m

Теперь, если в формуле кинетической энергии заменить скорость ( v ) на полученный результат, имеем:

Это выражение включает не скорость, а импульс частицы. Выражение лагранжиана теперь включает в себя только положение и импульс, но в нем при этом удвоилось число неизвестных: теперь нужно найти как положение, так и импульс частицы в каждый момент времени. Но несмотря на такое усложнение, это все же проще, чем решать уравнения Эйлера — Лагранжа.

Следующим шагом для Гамильтона был поиск системы уравнений, которые позволили бы описать изменение во времени импульса и положения частицы, если даны их кинетическая и потенциальная энергии. Для решения задачи Гамильтон пошел дальше уравнений Эйлера — Лагранжа и нашел собственную формулировку классической механики.

Ключевым шагом было введение новой величины, названной в честь ученого гамильтонианом. Гамильтониан частицы совпадает с суммарной энергией, это сумма кинетической и потенциальной энергий. То есть:

H = T + V .

Здесь нужно сделать важное замечание: хотя представленное выше уравнение обычно верно, в некоторых случаях необходимо получать гамильтониан другими способами. Например, это происходит при изменении энергии или когда изучаемая система ускоряется. Однако в подавляющем большинстве физических систем суммарная энергия остается неизменной, поэтому обычно используется именно это уравнение.

Необходимо помнить, что кинетическая и потенциальная энергия зависит от импульсов и положений, которые, в свою очередь, являются временными функциями.

Найдем, как зависят положение и импульс от времени. Другими словами, мы хотим узнать, куда и с какой скоростью движется изучаемое тело. Используя уравнения Эйлера — Лагранжа, Гамильтону удалось изменить их так, чтобы найти новые равенства, зависящие только от гамильтониана. Открытые ученым уравнения могут быть выражены следующим образом:

— изменение положения во времени равно изменению гамильтониана за единицу импульса;

— изменение импульса во времени противоположно изменению гамильтониана в пространстве.

Ниже приведено их математическое выражение, в котором символы d и , несмотря на то что их значения немного различаются (не станем углубляться в эти различия), могут читаться как «изменение»:

Говоря об уравнениях Гамильтона, следует отметить некоторые моменты. Во-первых, как и можно было ожидать, мы видим два уравнения вместо одного, поскольку теперь мы должны вычислить изменение как положения, так и импульса.

Во-вторых, уравнения не зависят от скорости, а только от импульса, положения и гамильтониана, как этого и хотел Гамильтон. Наконец, оба уравнения симметричны, кроме знака. Это совпадение кажется почти волшебным: как может быть, что положение и импульс, абсолютно разные величины, ведут себя так похоже? Это совпадение не давало покоя нескольким поколениям физиков, особенно после того, как было открыто, что подобное отношение — фундаментальная часть квантовой механики. В теории струн дуализм импульса и положения привел к еще более важному утверждению: можно математически описать вселенные, где импульс ведет себя так, как будто является положением, в то время как положение играет роль импульса, что было названо Т-дуализмом .

Применение уравнений Гамильтона открывает широкие возможности, благодаря чему сегодня эти уравнения используются не только в классической механике, для которой они были разработаны. Если законы Ньютона в релятивистской системе, где скорость частиц приближается к скорости света, перестают действовать, то уравнения Гамильтона продолжают давать верные результаты: надо лишь заново определить значения кинетической и потенциальной энергии. Уравнения Гамильтона можно считать основой супертеории в том смысле, что они охватывают частную физическую теорию и применяются для тел в электрических или гравитационных полях. Эти уравнения могут быть применены к любой еще не открытой силе при одном условии: необходимо вычислить связанную с ней потенциальную энергию.

Квантовая механика — это физическая теория, которая рассматривает процессы в микромире. В отличие от релятивистской механики, здесь уравнения Гамильтона перестают работать, поскольку все изменения положений и импульсов в микромире в некотором роде случайны. И все же гамильтониан в этой теории становится еще более важным, поскольку определяет изменение любой квантовой системы во времени. Особое отношение между положением и импульсом является ключевым для такого понятия, как принцип неопределенности, который гласит, что невозможно одновременно точно измерить и импульс, и положение частицы.

Математический аппарат, предложенный Гамильтоном почти 200 лет назад, работает и сегодня. Потенциал уравнений Гамильтона очень высок, и они используются в дисциплинах, мало связанных с физикой. Так, Давид Касс(1937–2008) , профессор экономики Пенсильванского университета, использовал эти уравнения для создания модели экономического роста. Он сопоставил значения импульсов, положений и некоторых экономических переменных, таких как экономический поток или цены, чтобы с помощью гамильтониана создать модель валового внутреннего продукта государства. Конечной целью Касса была возможность прогнозировать и даже направлять экономическое развитие. Ученые продолжают адаптировать уравнения Гамильтона для многих других отраслей.