Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Последняя теорема Ферма способствовала продвижению математики далеко вперед, но по-прежнему оставалась неприступной. После двухсот лет поисков баланс сил был таков. Первый случай был доказан для многих показателей степени, удовлетворявших условиям Жермен и Лежандра. Кроме этого, общий случай был доказан для четырех показателей степени n : 3, 4, 5 и 7. Но оставалось еще очень много недоказанных случаев. Последняя теорема, несмотря на все свое очарование, стала костью в горле для многих математиков.

Портрет немецкого математика Эрнста Эдуарда Куммера.

* * *

* * *

В 1908 году немецкий предприниматель и математик Пауль Вольфскель учредил приз в 100 000 немецких марок (что эквивалентно миллиону евро в наши дни) тому, кто сможет доказать теорему Ферма. Был установлен крайний срок подачи заявок, не подлежащий продлению, — 13 сентября 2007 года. Возможно, Вольфскель считал, что ста лет будет достаточно для доказательства теоремы, которой исследователи уже посвятили столько времени.

Очень многие математики прилагали огромные усилия, чтобы дополнить список показателей степени, для которых доказана теорема Ферма, как первый, так и общий случай. Иногда этого удавалось достичь за счет усовершенствования уже известных критериев или способов вычислений, в других случаях исследования велись в совершенно новых направлениях. В 1909 году Виферих доказал, что если существует решение для первого случая теоремы Ферма, то 2 p -1— 1 должно быть кратно р 2. Фактически на тот момент не было известно ни одного простого числа, которое бы удовлетворяло этому условию. Лишь в 1913 году Мейснер нашел р = 1903, а в 1922 году Бигер обнаружил р = 3511. В 1910 году Мириманов дополнил результаты Вифериха и доказал, что если существует решение первого случая теоремы Ферма, то 3 p -1— 1 также должно быть кратно р 2. Это позволило доказать теорему для р = 1903 и р = 3511. В 1971 году Бриллхарт, Тонашия и Вайнбергер с помощью компьютера проанализировали все простые числа до 3·10 9и не обнаружили ни одного другого числа, которое бы удовлетворяло условию Вифериха. Следовательно, они доказали теорему Ферма для всех показателей, не превышающих это значение. С годами число изученных простых чисел росло, и примерно к 1990 году первый случай теоремы Ферма был доказан для всех показателей, меньших 2327·10 19.

* * *

ПЬЕРУ ФЕРМА ЗА ТО, ЧТО ОН СПАС МНЕ ЖИЗНЬ

Существует несколько гипотез относительно того, чем руководствовался Вольфскель, когда учредил свою премию. Он был молод, страдал рассеянным склерозом, и ему пришлось оставить медицину в пользу более спокойного занятия — математики. Некоторые источники утверждают, что он думал о самоубийстве из-за несчастной любви, но, прочитав подробное исследование о теореме Ферма, понял, что красота математики превыше красоты любой женщины. Поэтому Ферма в буквальном смысле спас ему жизнь. Другие источники приводят более прозаичный довод: учредив премию, Вольфскель уменьшил сумму наследства, которое полагалось бы его ветреной жене.

Немецкий математик Пауль Вольфскель.

* * *

Если говорить об общем случае, то работы Куммера дополнил Вандайвер. В 1929 году он сформулировал ряд критериев, которым должны соответствовать нерегулярные простые числа, чтобы удовлетворять последней теореме Ферма. В 1954 году тот же Вандайвер уже с помощью компьютеров проверил все показатели степени р < 2521. Двадцать лет спустя этот список был расширен вплоть до р < 4000000. Но посреди этой бесконечной гонки за более точными критериями и вычислениями математическое сообщество получило приятный сюрприз.

В 1922 году англичанин Луис Морделл(1888–1972) сформулировал гипотезу, гласящую, что для любой алгебраической кривой рода, превышающего 1, множество рациональных точек является конечным. Род алгебраической кривой стал своеобразной мерой ее сложности. Кривые нулевого рода — наиболее простые, с ростом рода возрастает также сложность точек кривой. В 1983 году немецкий математик Герд Фалтингс(р. 1954) получил Филдсовскую премию за доказательство этой гипотезы, дав новый толчок доказательству теоремы Ферма. Для показателя степени n = 2 кривая х 2+ у 2= z 2является кривой нулевого рода, и ее решение является бесконечным множеством пифагоровых троек. Но для n > 2 род кривой х n + у n = z n превышает 1. Отсюда следует, что если уравнение теоремы Ферма имеет решения, то их число будет конечным. Математическое сообщество было убеждено, что Морделл и Фальтингс открыли путь к окончательному доказательству теоремы, которое вот-вот будет найдено. Но это было не так.

В конце 1980-х годов специалистам был известен ряд гипотез, в случае доказательства которых теорема Ферма также была бы доказана по меньшей мере для некоторых показателей степени. Среди этих гипотез — аbс -гипотеза, гипотеза Шпиро, гипотеза Войты, гипотеза Богомолова — Мияоки — Яу и другие. К удивлению многих, этот закрытый клуб должен был пополниться новым членом — гипотезой Таниямы — Симуры.

Гипотеза Таниямы — Симуры была сформулирована в 50-е и уточнена в 70-е годы XX века. В ней устанавливалось удивительное и неожиданное соотношение между двумя семействами математических объектов, на первый взгляд никак не схожих между собой: эллиптическими кривыми (тесно связанными с кубическими уравнениями, подобными тем, что изучал в свое время Диофант) и модулярными формами, разработанными французским математиком Анри Пуанкаре в конце XIX века. Эта гипотеза была плодом усилий двух японских математиков, Горо Симуры(р. 1930) и Ютаки Таниямы(1927–1958) . Молодые ученые познакомились и впоследствии вместе работали в Токио, в опустошенной послевоенной Японии. Прекрасная история их сотрудничества, увы, была омрачена трагическим финалом.

* * *

АВС-ГИПОТЕЗА

Эту гипотезу сформулировали в 1985 году Джозеф Эстерле и Дэвид Массер. В упрощенном виде она звучит так: если а, Ь, с— взаимно простые числа, такие, что а + b = с, и d— произведение различных простых множителей а, bи с, то dбудет лишь немногим меньше с.