Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Например, Эйлер предположил, что следующее уравнение не имеет решений:

x 4+ у 4+ z 4= w 4.

Компьютеры буквально дымились от непрерывных вычислений, но в течение многих десятилетий опровергнуть гипотезу Эйлера не удавалось. Был велик соблазн предположить, что гипотеза Эйлера верна для всех случаев, но в 1988 году Ноам Элкис потряс все научное сообщество, найдя контрпример:

2 682 440 4+ 15 365 639 4 + 187 960 4 = 20 615 673 4.

Более того, Элкис не остановился на этом: он не просто нашел решение, но и доказал, что их бесконечно много. Конечно, он пользовался компьютером, но сам по себе компьютер не способен найти решение.

* * *

Эндрю Джон Уайлс родился в 1953 году в Кембридже, но изучал математику в Оксфордском университете, где его отец, Морис Фрэнк Уайлс, преподавал богословие. Однако докторскую диссертацию Уайлс защитил уже в Кембридже под руководством австралийца Джона Коутса. Докторская диссертация Уайлса была посвящена арифметике эллиптических кривых с комплексным умножением методами так называемой теории Ивасавы. В начале 1980-х Уайлс получил должность профессора в Принстонском университете в США и стал одним из редакторов престижного журнала «Анналы математики». Казалось, что Уайлс забыл о давнем увлечении теоремой Ферма. Но позднее он признался: «Я не забыл о ней. Я помнил о ней всегда, но понимал, что единственные возможные методы доказательства насчитывали свыше ста лет, и было непохоже, чтобы с их помощью можно было проникнуть в суть задачи. Коутс, мой учитель, познакомил меня с теорией Ивасавы, над которой работал он сам». То, что эта теория в итоге стала ключом к доказательству последней теоремы Ферма, — одно из многочисленных удивительных совпадений, которыми изобилует эта история. Как бы то ни было, в 1986 году Рибет доказал эпсилон-гипотезу, и Уайлс немедленно вернулся к давно интересовавшей его теореме.

В течение следующих семи лет Уайлс как одержимый работал над доказательством. Первые два года он посвятил исключительно обзору задачи и рассмотрению всех возможных подходов, стремясь найти метод, который мог бы сработать. По этому поводу англичанин Джон Идензор Литлвуд как-то сказал, что математик должен чувствовать задачу, «словно язык у себя во рту». Основным местом развития событий стал чердак в доме Уайлса в окрестностях Принстона. Уайлс отключил телефон и, не слишком хорошо знакомый с компьютерами, покрывал тысячи и тысячи страниц всевозможными формулами, рисунками, схемами и графиками. Работа продвигалась очень медленно: иногда он пробовал применить уже известный метод, чтобы перейти от одного шага доказательства к другому, в других случаях он слегка изменял известные методы, наконец, в некоторых случаях просто требовалось изобретать нечто совершенно новое. Поначалу Уайлс держал тему своей работы в строжайшем секрете.

Сперва он оценил возможность «подсчитать» все эллиптические функции (напомним, что их бесконечно много), с одной стороны, и модулярные эллиптические функции (которых также бесконечно много) — с другой, и показать, что вычисления в обоих случаях эквивалентны. Этот способ оказался неэффективным, но по ходу работы Уайлс получил важный результат, который помог упростить задачу: вместо доказательства гипотезы Таниямы — Симуры для всех эллиптических кривых нужно было доказать эту гипотезу только для их подмножества, так называемых полустабильных кривых.

На этом этапе Уайлс в поисках вдохновения обратился к теории Галуа, названной в честь ее создателя — безвременно ушедшего из жизни французского математика Эвариста Галуа (1811–1832) . Галуа, подлинно трагическая фигура в истории математики, высказал гениальную догадку о перестановках возможных решений (корней) многочлена, которая позднее была развита Огюстеном Луи Коши и Артуром Кэли. Например, многочлен второй степени

х 2— 4 х + 1 = 0

имеет корни х 1 = 2 + √3 и х 2 = 2 — √3.

Оба корня удовлетворяют следующим уравнениям:

x 1 + x 2 = 4

x 1x 2 = 1

Оба уравнения будут по-прежнему верны, если мы поменяем местами х 1 и х 2

x 2 + x 1 = 4

x 2x 1 = 1

Галуа подробно изучил функции, инвариантные по отношению к перестановке корней, и определил так называемую группу Галуа для уравнений. Например, группа Галуа для многочлена х 2— 4 х + 1 = 0 состоит из двух перестановок: неизменной (в результате которой корни остаются «на своих местах») и транспозиции (показанной в примере).

Эндрю Уайлсв 2000 году.

(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси)

Свойства групп Галуа — очень мощный инструмент, который позволяет охарактеризовать чрезвычайно сложные структуры. Уайлс использовал их, чтобы преодолеть первое препятствие на пути к доказательству. В частности, он определил эллиптические уравнения в терминах представлений Галуа и доказал, что их можно ассоциировать с некоторыми характерными элементами модулярных форм. Таким образом, Уайлс переформулировал задачу о подсчете, использовав более «податливые» понятия. Этот первый, но очень важный шаг сам по себе уже заслуживал признания со стороны математического сообщества. Но это был всего лишь первый шаг, а Уайлс потратил на него два года непрерывного труда.

Уайлс работал в полном одиночестве, откуда же он брал силы, чтобы не отступаться от задачи? По его словам, «когда ты полностью сосредоточен, лучший способ расслабиться — это поговорить с детьми. Им не интересна теорема Ферма, по крайней мере, в столь нежном возрасте. Они хотят слушать только сказки». Остается лишь добавить, что Уайлсу повезло: его дети не проявили такого интереса к теореме Ферма, как он сам, когда был ребенком.

* * *

ПОРОЧНЫЙ ГЕНИЙ

Эварист Галуа был молодым человеком с горячим сердцем, который не раздумывая встал на сторону республиканцев в смутные времена Луи-Филиппа I, последнего короля Франции. Он также был одним из величайших гениев за всю историю математики. Его пылкий и непокорный характер, тяготы и лишения, свойственные научной работе, и проваленные вступительные экзамены в Политехническую школу привели к тому, что его труды были почти не известны современникам. Отдушину от неудач в науке Галуа нашел в политическом радикализме. Из-за своих политических взглядов он получил вызов на дуэль от офицера артиллерии, который симпатизировал монархистам.

Галуа знал, что плохо умел обращаться с оружием, поэтому в последнюю ночь перед дуэлью он лихорадочно пишет письмо, где кратко излагает итоги своих исследований, и отправляет его своему другу, блестящему математику Огюсту Шевалье. На следующее утро Галуа был смертельно ранен в живот и скончался через несколько часов. В своем последнем письме он изложил основы теории, которая позднее получила его имя и стала одним из основных разделов современной алгебры. Ему был всего 21 год.