Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Политическая карта Европы, выполненная в равноугольной конической проекции Ламберта.

Перечислим некоторые другие конические проекции. Во-первых, это косая биполярная проекция, предложенная в 1941 году Осборном Миллером и Уильямом Бризмейстером из Национального географического общества для создания карты всего Американского континента. В этой проекции, которая широко используется до сих пор, были применены две разновидности косой равноугольной конической проекции Ламберта. Во-вторых, это равновеликая коническая проекция Альберса, созданная немецким картографом Хейнрихом Альберсом в 1805 году, а также коническая равнопромежуточная проекция, напоминающая ту, что используется в карте Птолемея, и поликоническая проекция, авторство которой обычно приписывают швейцарскому топографу Фердинанду Хасслеру(1770–1843) . В поликонической проекции используются различные конусы, а карта в этой проекции внешне схожа с нефроидой — кривой, по форме напоминающей почку.

Карта Америки, выполненная в биполярной косой проекции.

Мы вкратце рассмотрели равновеликую цилиндрическую проекцию Ламберта, центральную и стереографическую проекцию — три важные картографические проекции, которые помогли нам лучше понять некоторые аспекты картографии. Однако вернемся к главному вопросу этой книги: существуют ли правильные карты земной поверхности? Как построить правильную карту?

Чтобы не потерять нить рассуждений, напомним, что идеальная карта должна сохранять неизменными (за исключением масштаба) такие метрические свойства, как площади, углы, геодезические линии, формы и в целом длины кривых и расстояния. Иными словами, искомая картографическая проекция должна быть изометрической. Чтобы упростить поиски точной карты Земли, мы задались вопросом: достаточно ли свойства сохранения площадей для того, чтобы равновеликая проекция была изометрической? Положительный ответ значительно упростил бы задачу: мы смогли бы ограничиться рассмотрением только тех проекций, которые сохраняют площади.

Однако после изучения трех проекций стало понятно: чтобы проекция была изометрической и подходила для составления идеальной карты, сохранения только одного из метрических свойств (площадей, углов или формы геодезических линий) недостаточно.

Итак, наша первая попытка построить идеальную карту завершилась неудачей. Тогда рассмотрим следующий вопрос: достаточно ли сохранения двух из трех метрических свойств, чтобы проекция была изометрической?

Начнем с того, что рассмотрим проекцию сферы на плоскость, сохраняющую углы и площади, и попытаемся определить, будет ли эта проекция изометрической. Для этого используем результаты, изложенные в предыдущих главах. В них мы рассмотрели искажения, вносимые проекциями, которые оставляют площади и величины углов неизменными. Как вы знаете из главы 5, если проекция является конформной (равноугольной), искажения в направлении меридианов μ равны искажению в направлении параллелей λ :

μ = λ

С другой стороны, в этой же главе мы показали, что для равновеликих проекций величина искажения вдоль меридианов обратна величине искажения вдоль параллелей, что обеспечивает сохранение площадей:

μ = 1/ λ

С учетом обоих равенств имеем:

μ = λ = 1

Иными словами, если проекция будет одновременно равновеликой и конформной, в ней не будет наблюдаться никаких искажений: ни вдоль меридианов, ни вдоль параллелей, ни в каком-либо другом направлении. Следовательно, эта проекция будет изометрической. Читатель может спросить: как быть с масштабом? Напомним, что мы рассматриваем сферическую модель Земли, следовательно, линейное изменение размеров никак не влияет на решение задачи.

Эврика! Точную карту Земли можно построить с помощью проекции, которая сохраняла бы одновременно величины углов и площади. Создание такой проекции нетривиально, ведь она должна сохранять все метрические свойства: геодезические линии, формы, длины кривых и расстояния.

Прежде чем начать поиски равновеликой конформной проекции, на основе которой можно составить идеальную карту Земли, продолжим двигаться намеченным путем и рассмотрим проекции, сохраняющие два других метрических свойства, например величины углов и геодезические линии.

Аналогично треугольнику на плоскости, который определяется как область, ограниченная тремя попарно пересекающимися прямыми, точки пересечения которых не лежат на одной прямой, сферический треугольник определяется как часть сферы, ограниченной тремя дугами попарно пересекающихся больших кругов, при этом точки пересечения не лежат на одном большом круге. Так как рассматриваемые нами проекции сохраняют геодезические линии, то проекцией сферического треугольника будет треугольник на плоскости. Поскольку эти проекции конформны, они сохраняют величины углов треугольников и их сумму. Из классической геометрии известно, что сумма углов треугольника равна π (180°). Чему будет равна сумма углов сферического треугольника? Будет ли она также равна π (180°), как и следовало ожидать?

Рассмотрим конкретный пример. Представим сферический треугольник, образованный дугой меридиана, заключенной между Северным полюсом и экватором, и другой, похожей, дугой, отстоящей на угол π /2 (90°) от первой, как