Брайан Клегг - Вселенная внутри вас

После этого ведущий открывает одну из двух других дверей и показывает вам, что там коза. А теперь он предоставляет вам право выбора. Вы можете остаться при своем прежнем решении или открыть другую оставшуюся дверь. Как вы поступите? Меняются ли при этом ваши шансы на выигрыш? Что в данном случае лучше: сохранить верность первоначальному решению или поменять его?

Мы понимаем, что после того, как открыта одна из дверей, и мы убедились, что за ней стоит коза, у нас остаются всего две двери. За одной из них находится автомобиль, а за другой – коза. Представляется совершенно очевидным, что шансы составляют 50:50, какую бы дверь вы ни выбрали. И это ошибка. На самом деле шансы возрастают вдвое, если вы откажетесь от первоначального решения и выберете другую дверь.

Если этот вывод кажется вам абсурдным, то вы отнюдь не одиноки. В свое время писательница Мэрилин вос Савант вела в журнале «Parade» рубрику, где отвечала на вопросы читателей. В 1990 году ей был задан этот вопрос, и она дала приведенный выше ответ: лучше поменять решение. После этого читатели засыпали ее тысячами откликов, в которых убеждали ее в том, что она не права и что шансы равны. Некоторые письма подобного рода приходили даже от математиков и других ученых.

Если вы построите компьютерную модель этого задания и попробуете проделать опыт сами, то убедитесь, что действительно лучше поменять решение. Но ведь это полностью противоречит логике! Однако, решая эту задачу, необходимо учитывать один очень важный момент: ведущий открывает дверь не случайно. Он точно знает, что за ней стоит коза. А теперь вернитесь к тому моменту, когда вы принимали первое решение. Ваш шанс выиграть автомобиль составляет 1:3. Другими словами, вероятность того, что автомобиль стоит за одной из двух других дверей, равна 2:3. После того как ведущий открывает одну из дверей, эта вероятность 2:3 по-прежнему сохраняется, только теперь она распространяется всего на одну оставшуюся дверь. Если же вы захотите открыть первоначально выбранную дверь, то ваш шанс, как и прежде, будет 1:3. Поэтому лучше выбрать третью дверь.

Как ни странно, схожая ситуация, вызвавшая непонимание и даже возмущение читателей, возникла и с другим вопросом в рубрике вос Савант. Задача очень проста: «У меня двое детей, и один из них мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность, что у меня два мальчика?» Однако для того, чтобы решить эту задачу, давайте сначала сделаем шаг назад и упростим ее: «У меня двое детей, и один из них мальчик. Какова вероятность, что у меня два мальчика?»

Первым делом в голову приходит мысль: «Один из детей – мальчик. Следовательно, второй может быть либо мальчиком, либо девочкой. Таким образом, шансы составляют 50:50. Вероятность того, что в семье два мальчика, равна 50 процентам».

К сожалению, ответ неверен.

Чтобы это понять, надо составить простую схему. В левую часть мы поместим старшего ребенка. Это может быть либо мальчик, либо девочка. Вероятность 50:50. В правой части у нас окажется младший ребенок. Для каждой из указанных выше возможностей это опять-таки будет мальчик или девочка. Вероятность каждой из четырех возможных комбинаций составляет 25 процентов.

Все комбинации, за исключением «девочка – девочка», соответствуют условию задачи: «У меня двое детей, и один из них мальчик». Итак, у нас осталось три одинаково вероятные возможности, в каждой из которых один ребенок – мальчик. Вероятность того, что оба ребенка мальчики – это всего лишь один вариант из трех, то есть шансы составляют 1:3.

Потенциальные комбинации детей

Если вас это удивляет, то вспомните условие задачи: «Один из них мальчик». Здесь ничего не говорится о том, старший он или младший. Вот если бы мы сказали что «старший из них мальчик», тогда здравый смысл совпал бы с теорией вероятности. Если старший ребенок мальчик, то остаются только два варианта с равной вероятностью: второй ребенок может быть либо мальчиком, либо девочкой, следовательно, вероятность равна 50:50.

Теперь вы уже готовы решить полную версию задачи: «У меня двое детей, и один из них мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность, что у меня два мальчика?» Внутренний голос подсказывает вам: «Дополнительная информация о дне недели не имеет никакого значения. Решение остается прежним: шансы на то, что в семье два мальчика, составляют один к трем». Однако, как ни удивительно, вероятность в данном случае составляет 13:27, то есть довольно близка к 50:50.

Для пояснений надо было бы нарисовать еще одну схему, но мне не хочется себя утруждать, поэтому вам придется ее представить. В левую часть схемы поместим 14 детей: первый мальчик, родившийся в воскресенье, первый мальчик, родившийся в понедельник, первый мальчик, родившийся во вторник… первая девочка, родившаяся в воскресенье и такдалее вплоть до первой девочки, родившейся в субботу.

У каждого из этих детей будет по 14 вариантов младших братьев или сестер: второй мальчик, родившийся в воскресенье, и т. д.

Итак, у нас есть 196 комбинаций, но, к счастью, большую часть из них мы можем сразу вычеркнуть. Нас интересуют только комбинации, в которых присутствует мальчик, родившийся во вторник. Таким образом, у нас остается пункт в левой части «первый мальчик, родившийся во вторник», с четырнадцатью возможными вариантами, а также еще 13 вариантов, в которых присутствует второй мальчик, родившийся во вторник. Итого 27 комбинаций. В скольких из них присутствуют два мальчика? В половине из первых четырнадцати вариантов и в шести из оставшихся тринадцати. Итого 13 (7 + 6). Тринадцать комбинаций дают нам двух мальчиков. Таким образом, вероятность того, что в семье два мальчика, составляет 13 к 27.

Здравый смысл протестует. Выходит, что, назвав день недели, в который родился один из мальчиков, мы увеличиваем вероятность рождения второго мальчика. Но ведь с тем же успехом мы могли бы назвать любой день недели. Почему так получается? Потому что, введя в качестве дополнительной информации день рождения, мы сразу отсекаем массу возможностей. Добавление любой информации фактически равносильно тому, что мы приходим к ситуации, в которой мальчиком является старший ребенок.

Теория вероятности абсолютно верна, и вы, если хотите, можете это доказать, смоделировав ситуацию на компьютере. Все цифры сойдутся. Но ум отказывается в это верить. Как вам это нравится? (Вообще-то, истины ради, стоило бы добавить, что представленная картина не совсем соответствует реальности. Решая задачу, мы исходили из того, что обычно мальчиков и девочек рождается поровну и что их появление на свет равномерно распределяется по всем дням недели. На самом деле это не совсем так, но данные обстоятельства уже выходят за рамки предлагаемого упражнения.)