Коллектив авторов - Теорема Геделя о неполноте [Фейк]

Каким же образом доказывается теорема Геделя? Мы рассмотрим здесь лишь общую схему доказательства (12).

Идея доказательства заключается в том, чтобы построить пример формулы, которая была бы недоказуема и, вместе с тем, содержательно истинна. Таковой являлась бы формула, содержательный смысл которой заключается в том, что она утверждает свою собственную недоказуемость, т.е. невыводимость из аксиом рассматриваемой формальной системы.

Для того, чтобы построить такую формулу, Гедель изобрел способ нумерации предложений формальной системы, который позволил однозначным образом приписать некоторый номер (натуральное число) каждому элементарному символу, формуле или доказательству данной формальной системы (так называемая "геделевская нумерация").

Используя геделевскую нумерацию можно построить формулу утверждающую недоказуемость формулы с номером n, где n - номер самой этой формулы. По существу, геделевская нумерация задает специфический арифметический метаязык, на котором можно высказывать суждения о свойствах рассматриваемой дедуктивной системы в форме суждений о числах.

Обохзначим через Dem (x, y) - метаязыковое выражение, означающее "последовательность формул с геделевским номером х является доказательством формулы с геделевским номером у". Навесим на х квантор общности и подвергнем Dem (x, y) отрицанию. В результате мы получим одноместный предикат:

(*) {для всех х не верно Dem (x, y)}

который утверждает недоказуемость формулы с геделевским номером у.

Следующий шаг заключается в подстановке в (*) вместо "у" формального (метаязыкового) выражения для номера самой формулы (*).

Пусть формула (*) имеет геделевский номер h. Обозначим через Sb (Wvz(n)) номер результата подстановки в формулу с номером W на место переменной с номером V формулы с номером Z(n). Z(n) - в данном случае - номер формального выражения формулы с геделевским номером n. Пусть, также, m - геделевский номер переменной "у".

Построим формулу

(1) {для всех х не верно Dem (x, Sb (hmz(h))}.

Легко установить, что геделевский номер формулы (1) равен Sb (hmz(h)) так как эта формула получена из формулы с номером h путем подстановки вместо переменной с номером m (т.е. "у") формального выражения числа h. Следовательно, (1) и есть искомая "геделевская формула ("геделевское предложение") G.

Запишем геделевское предложение в виде:

[формула с номером Sb (hmz(h)) недоказуема],

где Sb (hmz(h)) - номер формулы: [формула c номером Sb (hmz(h)) недоказуема].

Если данная формула доказуема, то она истинна, но тогда истинно, что она утверждает, а именно, что она недоказуема. Т.е. если она доказуема, то она недоказуема. Таким образом, мы получили противоречие.

Если же данная формула недоказуема, то она, очевидно, истинна (поскольку утверждает, что она недоказуема и на самом деле недоказуема). Т.е. эта формула является истинной недоказуемой формулой (в рамках заданного формализма).

Ясно, что любое "геделевское предложение" легко можно сделать доказуемым просто включив его в состав аксиом данной формальной системы. Однако в таком случае можно сформулировать новое "геделевское предложение", утверждающее собственную невыводимость уже из нового набора аксиом. Положение не улучшиться даже в том случае, если мы будем вводить дополнительные аксиомы не отдельными единицами, а, скажем, "встроим" в нашу дедуктивную систему некий "генератор геделевских предложений" и, таким образом введем в систему аксиом сразу бесконечное множество "геделевских предложений". И в этом случае можно построить формулу, которая будет утверждать собственную невыводимость из аксиом, включая и любые аксиомы, вводимые посредством "генератора геделевских предложений". Иными словами, система аксиом не будет удовлетворять требованию полноты даже в том случае, если ее пополнить счетно-бесконечным множеством дополнительных аксиом. Как отмечает Л.Г. Антипенко : "... запас арифметических истин оказался столь обширен, что ни из какой даже счетно-бесконечной фиксированной системы аксиом их нельзя формально вывести все" (12 с. 167).

Таким образом, никакое непротиворечивое расширение множества доказуемых формул не позволяет сделать это множество тождественным множеству всех содержательно истинных предложений формального языка - при условии, что данный язык позволяет формулировать предложения, выражающие собственную невыводимость из аксиом любой, заданной в рамках данного формального языка, дедуктики.

Непосредственный смысл теоремы Геделя о неполноте формальных систем можно усмотреть в констатации невозможности формализации содержательного понятия "истины" в математике. Поскольку, однако, истина в математике всегда получается через посредство доказательства, то отсюда, также, можно сделать вывод о невозможности полной и исчерпывающей формализации человеческой способности доказывать математические предложения. Любая формализованная система доказательств отражает в эксплицитной форме лишь некоторую часть этой способности, т.е., по сути, представляет собой лишь формализацию "пост фактум" некоторых содержательных (неформальных) схем математических рассуждений. Но человек всегда способен выдумать новые схемы рассуждений, которые в совокупности не покрываются никаким конкретным формализмом.

Исторически теорема Геделя связана с проблемой "оснований математики", в частности, с Гильбертовой программой обоснования математики через формализацию ее "традиционных" теорий и дальнейшее доказательство непротиворечивости полученного формализма в рамках метаматематики. Из теоремы Геделя о неполноте формальных систем и ряда других ограничительных теорем, вытекает неосуществимость программы Гильберта. Важный результат, также полученный К. Геделем, заключается в том, что оказывается невозможным доказать непротиворечивость формальной системы, используя для доказательства средства, формализуемые в рамках рассматриваемого формального языка. Для подобного рода доказательств необходимо использовать формальный язык более высокого уровня (обладающий большими выразительными возможностями). Эти результаты, в частности, означают, что математика не может быть раз и навсегда застрахована от возможности возникновения противоречий.

Нас, однако, интересует несколько иное применение теоремы Геделя, а именно использование ее в качестве аргумента против возможности создания искусственного интеллекта.

Если смысл теоремы Геделя сводится к невозможности формализации содержательного понятия истины, то уже отсюда следует невозможность создания машины способной различать истину и ложь столь же эффективно, как это делает человек. Преимущество человека перед машиной можно усмотреть в том, что человек способен в любых случаях распознавать истинность "геделевских предложений" (опираясь, например, на ту схему рассуждений, которую мы использовали на последнем этапе доказательства теоремы Геделя), а машина делать это не способна.