Г Гутнер - Онтология математического дискурса

Существует одна, на наш взгляд странная, особенность, присущая практически всем исследователям, придерживающимся структуралистского подхода. Мы уже отмечали, что идея структуры разрабатывалась - задолго до возникновения структурализма - в творчестве Кассирера (равно как и других философов Марбургской школы). Однако никто из структуралистов (насколько, по крайней мере, нам известно) не указывает на какую-либо связь с кантианской или нео-кантианской традицией. Более того, в ряде работ встречается известное отторжение этой традиции. В частности Мулуд указывает на несовместимость кантовской системы с аксиоматическим подходом ([37], c. 36). (См. примечание 6) Шапиро ([82], c.149) рассматривает появление аксиоматических методов и связанного с ними структурного подхода как попытку освободить математику от априорных форм созерцания (т.е. от интуиции пространства и времени). Гильбертовскую программу он считает поэтому "глубоко анти-кантовской", несмотря на то, что сам Гильберт неоднократно заявлял о своих кантианских пристрастиях (с. 156).

Задачей нашего исследования является согласование трансцендентального метода со структурным подходом. Мы попытаемся обосновать, что - как уже отмечалось выше - именно трансцендентализм (кантовского типа) делает структуру основной категорией математического и естественнонаучного мышления. Более того, трансцендентализм дает полное обоснование структурализма: именно в рамках трансцендентального рассмотрения становится понятным каким образом формальная система (т.е. структура) оказывается адекватным средством описания физической реальности и почему, в частности, математика столь эффективна при изучении природы. Таким образом будет установлено, что структурализм обладает теми же преимуществами, которые П.Мэдди находила лишь у реализма.

Другой задачей предпринимаемого исследования будет разработка ряда категорий, необходимых, на наш взгляд, для структурного описания математического мышления. Проблема состоит прежде всего в том, чтобы представить понятие структуры в виде философской категории. Для этого необходимо согласовать его с рядом других категорий, в значительной мере обуславливающих друг друга. Прежде всего это - объект, конструкция и дискурс. Нашей задачей будет по возможности точное определение этих категорий, объяснение их связи и уточнение их онтологического смысла. Говоря об онтологическом смысле категорий, мы имеем в виду способ использования их в рассуждении - мы, иными словами, попытаемся установить, как, пользуясь названными категориями, можно установить существование или описать нечто как существующее (См. примечание 7)

Примечания к Введению

1. Собственная задача Шеллинга состоит в том, чтобы развить оба названных подхода и показать их конечное тождество. Нас ни в малейшей мере не будет интересовать возможность реализации подобного проекта, но само произведенное Шеллингом разделение представляется очень существенным. вернуться в текст

2. Кассирер считает, что существо описанной логической процедуры не будет меняться от того, что именно полагается в основание образуемого абстрактного понятия. Это может быть и единичная вещь, о которой "сказываются" ее свойства, и субстантивированная универсалия (как это полагают средневековые реалисты), и психическое переживание, т.е. восприятие или ощущение, не обязательно связанное с какой-либо внешней реальностью. вернуться в текст

3. Самый простой пример такого понимания общего - теория групп разбирается Кассирером в связи с рядом современных ему представлений с психологией зрительного восприятия в [68]. Логическое правило, задающее группу, определяет множество ее элементов, о которых не нужно знать ничего, кроме того, что они отличны друг от друга. Именно таким логическим правилом может быть задана группа преобразований пространства в геометрии. Инварианты определенных таким способом преобразований могут быть, по мысли Кассирера также и инвариантами зрительного восприятия пространства. С другой стороны, этот способ понимания общего отнюдь не является изобретением Кассирера. Например, Боэций, описавший процедуру абстрагирования как возможное решение проблемы универсалий ([9], c.27-31), указал и такую возможность интерпретации общего, при котором оно не может быть ни субстанцией, ни чем-либо, сказывающимся о субстанции. Так, единая вещь, может быть общей многим различным и тогда, "когда она становится общей для всех одновременно, но тогда она не составляет субстанции тех, для кого является общей, как, например, театр или любое другое зрелище, общее для всех зрителей" ([9], c. 25). Даже если спектакль, объединяющий многих зрителей (и исполнителей), и не является строго определенной логической формой, то во всяком случае представляет собой единую систему отношений, сообразную некому замыслу. вернуться в текст

4. Кассирер показывает, что оппозиция "внутреннее - внешнее" есть порождение субстанционального подхода. Именно такой подход противопоставляет объективную вещь и субъективное представление о вещи. Это противопоставление порождает весьма тяжелую проблему адекватности представления вещи. Внешняя (объективная) реальность неизбежно должна быть трансцендентна субъекту. См. [32], c.349-400. вернуться в текст

5. Бернайс был по-видимому первым, кто ввел для обозначения рассматриваемого направления термин "платонизм", достаточно широко используемый в современной литературе. вернуться в текст

6. Суждение Мулуда о Канте имеет, на наш взгляд, принципиальное значение. Он обращает внимание на важное достижение кантовской философии способность согласовать априорность логической формы и апостериорность опытных данных. "Однако, - пишет далее Мулуд, - гармония между формой и содержанием, которую гарантирует трансцендентальная философия, освобождает разум от необходимости искать адекватный аппарат формализации данной реальности, что как раз входит в задачу аксиоматических наук. Кантовская система не располагает процедурами, которые позволяют осуществить аксиоматизацию, одновременно верифицируя формальную систему, для экспликации новых аспектов предмета" ([37], c. 36). Такая оценка кантовского априоризма верна, если ограничиться рамками "Критики чистого разума". Однако все те функции, которыми по мнению Мулуда не располагает кантовская система (формализация реальности и верификация формальной системы), выполняет рефлектирующая способность суждения, описанная Кантом в "Критике способности суждения". Рассмотрение действия этой способности будет одной из главных тем нашего исследования. вернуться в текст

7. По поводу одной из названных категорий, о дискурсе, необходимо дать некоторые объяснения уже сейчас - тем более этот термин вынесен в заголовок работы. Это слово часто используется в самых разных смыслах и нужно пояснить, что мы имеем в виду, используя его.