Борис Кузнецов - Путешествие через эпохи

В модифицированной, качественной форме анализ бесконечно малых оказал большое влияние на те области культуры и формы общественного сознания, где математические понятия в собственном, количественном смысле были неприемлемы.

Путешествия на машине времени и беседы с математиками XVIII века давали сравнительно мало для констатации связи между исчислением бесконечно малых и характером мышления, выходящего за пределы астрономии, механики и физики. Такой выход часто бывал безотчетным, часто происходил он не у математиков, последние, как правило, не думали об общенаучном, философском и общекультурном эффекте своих исследований. Но были исключения. Лагранж [156] Лагранж Луи (1736–1813). , придавший механике наиболее абстрактный характер, даже исключивший из своих главных трудов чертежи, задумывался над воздействием абстрактных математических конструкций на мышление и общественные идеи.

Встреча и беседа с Лагранжем произошла во время моего ближайшего, после процесса де ля Мотт, Роана и других, приезда в Париж. За прошедшие по счету XVIII века три года процесс и его финал были забыты. Наступила весна 1789 года. Бастилия еще не была взята, но приближение революции казалось очевидным. Я ходил по знакомым улицам, разговаривал с самыми различными людьми и был, как всегда, поражен удивительным слиянием эмоционального революционного подъема и очень трезвых, отчетливых, логических выводов.

Накануне революции манера разговора, выбор аргументов, переходы от сложных конструкций, включавших соображения об английской торговле, финансовой политике правительства и о множестве других фактов, к выражению гнева, ярости и — по другому адресу — преданности, готовности к жертвам — весь этот пестрый и сложный, очень эмоциональный и очень рационалистический разговор на площадях и улицах, на стихийных собраниях, в кафе, в мастерских делал очень рельефными и непосредственно ощутимыми логические и психологические корни революционных настроений.

Я пришел к Лагранжу в качестве графа Калиостро. Он очень добродушно, но несколько юмористически отнесся к моей репутации мага и современника прошлых поколений и с интересом слушал изложение моих физических и математических познаний и воззрений, которые комментировал с таким блеском, что мне иногда казалось, будто я узнаю от него новые и интересные вещи относительно математических идей ХХ века. Здесь тоже был барьер. История науки, как и общая история, необратима. Лагранж бросал очень глубокие замечания, когда я говорил о математике ХХ века, но это не отвлекало его от основных направлений собственной мысли.

Основным направлением было создание аналитической механики. Лагранж понимал ее общее, выходившее за рамки естествознания философское и культурное значение. Он говорил об изменении стиля научного мышления. По мнению Лагранжа, отказ от наглядного представления о пространстве, манипулирование абстрактными пространствами делает новые математические понятия более общими, способными реконструировать не только математику, но и физику и, что может быть еще важнее, вызвать поворот культуры, языка, мышления к более точным понятиям.

В разговоре со мной Лагранж затронул один на первый взгляд очень далекий от математики вопрос. Речь зашла о Руссо. Смысл того, что говорил о нем Лагранж, можно передать следующим образом. Руссо, поставив чувство — прежде всего сострадание — впереди разума, был тем не менее близок к рационализму, науке, математике. Последняя показала, как можно выйти из здесь-теперь во вне-здесь-теперь. Сострадание и вообще чувство — это выход из изолированного я в ты, в они — это экстериоризация личности. Руссо не увидел связи своей идеи с основной идеей рационализма и классической науки XVIII века. Поэтому он выступил против них, против прогресса, против цивилизации. Дальнейший прогресс сделал эту связь явной. Но соратники Лагранжа — энциклопедисты понимали ее уже в середине XVIII века.

Внутренняя ценность анализа — продление локального чувственного впечатления в прошлое и будущее. Эта идея получила более отчетливое выражение в учении Коши [157] Коши Огюстен Луи (1789–1857), французский математик. о бесконечно малой. Коши родился как раз в том году, когда мы беседовали с Лагранжем. Я имел возможность поговорить с ним много позже, через 40 лет, когда он по приглашению Карла X [158] Карл Х (1757–1836), король Франции (1824–1830). начал преподавать математику юному принцу — герцогу Бордоскому, или, иначе, графу Шамбору [159] Шамбор, граф, герцог Бордоский (1820–1883). .

То, что я услышал от Коши о смысле дифференциального исчисления и о реальности производной по времени, не отличалось в своей основе от того, что уже более ста лет повторяется в учебниках. Бесконечно малая — это не нуль, обладающий некоторым направлением, как думал Эйлер [160] Эйлер Леонард (1707–1783), один из величайших математиков XVIII века. , и не песчинка, которой мы можем пренебречь, когда речь идет о горах, как думал Лейбниц. Бесконечно малая — это переменная величина, которая бесконечно стремится к нулю, но не достигает его. Можно, однако, определить, какого конечного значения достигло бы отношение бесконечно малых, если бы они реализовали свое приближение к нулю, достигли бы нулевых значений. Такое предельное отношение стягивающегося в нуль приращения пройденного пути и стягивающегося в нуль приращения времени — это производная по времени — скорость движения частицы.

Но в разговоре с Коши мы коснулись некоторых вопросов, которые в меньшей мере стали содержанием учебников. Прежде всего вопрос о реальности производной. Ведь это предельное отношение, скорость в точке. Но разве может быть реальным движение в точке? Реальный ли это образ — предельное отношение бесконечно малых величин, которые в действительности не могут достичь своих пределов, не могут стать нулями? На этот вопрос Коши ответил, в сущности, чисто философским замечанием.

Он повторил то, что я уже не раз слышал в путешествиях на машине времени и не раз записывал в свои мемуары. В течение нулевого времени ничего не происходит. Более того, ничего не может существовать. Существовать в течение нулевого времени значит не существовать. Тем самым настоящее, отделившееся от прошлого и от будущего, ставшее границей между прошлым и будущим, оказывается фиктивным понятием. Оно выходит за пределы реального. И это правильно: покой, неподвижность, отделенность от движения, статика, переставшая быть относительным и частным моментом динамики, все это не обладает реальным бытием. Только потому, что настоящее — это предел для прошлого и для будущего, только в силу стремления к этому пределу, в силу включения движения в бытие, настоящее сохраняет свою реальность.