Алексей Лосев - Итоги тысячелетнего развития, кн. I-II

Два обстоятельства нам необходимо отметить особо. Прежде всего, хотя в своем "Тимее" Платон и не говорит специально о музыкальных консонансах, но уже первые четыре пропорции 1:2, 3:2, 4:3, 9:8, указываемые здесь (36ab), явно свидетельствуют о полном понимании Платоном и кварты, и квинты, и октавы; и понимал он их, конечно, в первую очередь, в космологическом плане.

б) О том, какую именно гамму имел в виду Платон в своем изображении космоса, буквально в "Тимее" ничего не сказано; и разные догадки на эту тему составили в современной науке обширную литературу. Рассматривать всю эту литературу не является для нас нужным делом. Мы бы обратили внимание только на то, что имеется один гармонический принцип, который в "Тимее" тоже не формулирован буквально, но который представляется нам очевидным. Это принцип золотого деления, который в точном и сознательном виде до Птолемея вообще нигде в античности не формулировался. Платон утверждает в "Тимее" (32a), что два тела наилучшим способом могут быть объединены только так, что "первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и, соответственно, последнее к среднему – как среднее к первому". Здесь стоит только под первой величиной понимать всю величину, а под последней величиной – меньшую величину, и мы сразу получим закон золотого деления: вся величина так относится к ее большей части, как ее большая часть – к ее меньшей части.

в) Чтобы в точности распознать проводимый здесь Платоном закон золотого деления, необходимо иметь в виду его стремление понимать всю действительность как максимально правильно построенную, то есть как состоящую из пяти правильных многогранников и шара.

Если мы возьмем куб, то ясно, что его квадратные грани составлены каждая из двух равнокатетных прямоугольных треугольников. Это заставляет признать, что куб в строгом смысле слова не имеет никакого отношения к золотому делению. Однако желательная для Платона правильность этого многогранника нисколько не страдает. Можно сказать, что правильность взаимного соотношения элементов куба настолько велика, что она даже не нуждается в золотом делении и даже превосходит его по своей правильности. Эта правильность, соотношения доходит тут до равенства: грани куба – это правильные квадраты, стороны которых буквально равны одна другой; а проведение диагонали внутри куба приводит к получению равнобедренных прямоугольных треугольников, в отношении которых у Платона имеется особая симпатия.

Если же мы возьмем пирамиду, октаэдр и икосаэдр, то их грани уже не будут составлены из прямоугольных треугольников, но все же из треугольников равносторонних. Однако во всяком равностороннем треугольнике путем проведения его высоты мы находим два таких прямоугольных треугольника, в которых один катет вдвое меньше гипотенузы (54d).

Представим себе теперь меньший катет каждого из указанных треугольников как 1. Тогда гипотенуза каждого такого треугольника будет равняться 2. И чтобы в таких условиях представить себе другой катет, то, на основании общеизвестной Пифагоровой теоремы, этот другой катет будет равняться √3. Тут-то и возникает то замечательное явление, что Платон, в сущности говоря, пользуется не чем иным, как именно золотым делением, потому что √3 лишь незначительно отличается от числа 1, 71..., характерного для золотого деления.

Здесь, однако, вовсе не получается закона золотого деления, как это хотелось бы Г.Е.Тимердингу [277] Тимердинг Г.Е. Золотое сечение. Пер. В.Г.Резвой, под ред. Г.М.Фихтенгольца. Пг., 1924, с. 52. . Дело в том, что та иррациональная дробь, которая получается в результате вычисления величины √3, равняется 1, 732..., а отношение золотого деления в данном случае (как отношение двух катетов) равняется 1:√3 то есть равняется 0, 577..., в то время как пункт золотого деления в общем случае падает на дробь 0, 618. Другими словами, полного совпадения с золотым делением здесь не получается; и, может быть, Г.Е.Тимердинг рассуждает здесь несколько преувеличенно. Нужно, однако, сказать, что эта преувеличенность здесь ничтожная, да и сам Г.Е.Тимердинг платоновскую симметрию называет здесь не просто золотым делением, но соперником этого последнего. А с такой характеристикой уже вполне можно согласиться. И, таким образом, пирамида, октаэдр и икосаэдр, несомненно, содержат в своей структуре нечто весьма близкое к золотому делению. И это вовсе не плохо, поскольку художественное впечатление определяется не только законом золотого деления в точности, но и болей широкой областью различных числовых отношении, а в приведенном у нас выше тексте из "Тимея" Платон как раз и дает гораздо более общую формулу, а не только специально формулу золотого деления, которую мы там упомянули не в целях математической точности, а, скорее, в целях приведения только одного из примеров художественного соотношения разных частей целого.

Перейдем к додекаэдру.

Что касается додекаэдра, который, согласно самому Платону, близок к шару, то можно задать себе вопрос об отношении стороны пятиугольника и диаметра шара, в который он вписан. Согласно Г.Е.Тимердингу [278] Тимердинг Г.Е. Золотое сечение. Пер. В.Г.Резвой, под ред. Г.М.Фихтенгольца. Пг., 1924, с. 20-21. , это отношение как раз свидетельствует о наличии здесь золотого деления. Другими словами, весь додекаэдр буквально пронизан принципом золотого деления.

В геометрическом смысле рассуждения здесь простейшие. Соединив центр правильного пятиугольника с его вершинами, мы получаем пять равнобедренных треугольников; а проведя перпендикуляры из вершин этих треугольников на их основания, мы получаем десять прямоугольных треугольников определенного типа. Именно, половина каждой стороны пятиугольника в ее соотношении с проведенными нами радиусами как раз и образует собою золотое деление.

Другими словами, как заключает Г.Е.Тимердинг [279] Тимердинг Г.Е. Золотое сечение. Пер. В.Г.Резвой, под ред. Г.М.Фихтенгольца. Пг., 1924, с. 21. , сторона правильного пятиугольника представляет из себя гипотенузу прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен радиусу описанной вокруг пятиугольника окружности; а другой катет равен стороне десятиугольника, вписанного в ту же окружность. Поэтому соотношение половины стороны правильного пятиугольника с радиусом описанной вокруг него окружности и представляет собой золотое деление.

Таким образом, закон золотого деления с достаточно большой точностью можно приписывать именно Платону в его космологическом и вообще эстетическом использовании пифагорейской пропорционально-числовой гармонии или, точнее говоря, находить принцип золотого деления в его теории правильных многогранников [280] Вопрос о соотношении многогранников между собою, а также о соотношении физических элементов представлен в платоновском "Тимее" не без сложностей, заставляющих применять разного рода гипотезы и догадки. Входить во всю эту проблематику для нас нет никакой необходимости, а тех, кто этим заинтересовался бы, можно отослать к статье А.И.Штерна "Stoicheia и Платоновы многогранники" в сборнике "Античная культура и современная наука" (с. 36-42). О полной естественности для греков понимать правильную структуру материального мира именно в виде правильных многогранников и шара – ИАЭ II 613. Возможно, что исконную пифагорейскую гармонию впервые стал понимать при помощи теории правильных многогранников именно Платон. .