Валерий Савченко - Начала современного естествознания: концепции и принципы

Образ пространства Лобачевского можно условно выразить, представив себе гору неограниченной высоты с идеальными склонами по всей долготе и с гладкой вершиной. С этой вершины тело может соскользнуть вниз по бесконечному числу путей, и ни один из этих путей не пересечется, так что мы имеем в этом случае бесконечное число параллельных (непересекающихся) линий движения.

Одно из важнейших следствий неевклидовой геометрии Лобачевского состоит также в том, что она способна описывать свойства физического пространства ничуть не в меньшей, если не в большей мере, и, возможно, даже более точно, чем евклидова геометрия. Например, много позднее в теории тяготения было показано, что если считать распределение масс во Вселенной равномерным, то физическое пространство такой Вселенной имеет геометрию Лобачевского, Необходимость и достаточность евклидовой геометрии как геометрии физического пространства ниоткуда не следует и никем никогда не была доказана; истинность той или иной геометрии может быть установлена только опытным путем (это ясно понимал сам Лобачевский, стремясь найти эмпирические основания своей геометрии).

Проблема выбора геометрии, наиболее соответствующей реальному физическому пространству, исследовалась в дальнейшем, уже после Лобачевского, самым великим из учеников Гаусса, Бернхардом Риманом. Риман первым поставил вопрос: что нам достоверно известно о пространстве? Одна из целей Римана состояла в доказательстве того, что аксиомы Евклида являются эмпирическими, а не очевидными истинами. Риман избрал аналитический подход, поскольку геометрические доказательства не свободны от' чувственного опыта, «здравого смысла», способного привести к ошибочным заключениям.

Риман, в результате продолжительных поисков адекватного описания свойств физического пространства, пришел к мысли, что описание пространства должно быть локальным (от лат. localis — местный), ибо свойства пространства могут изменяться от точки к точке (от места к месту). Квадрат расстояния ds между двумя бесконечно-близкими точками в пространстве (в котором введена система координат x1, х2, х3) может быть представлен в виде некоторой двойной суммы по индексам i и к = 1, 2, 3: где — так называемый метрический тензор, по сути, это некоторая квадратная таблица, ее называют матрица, состоящая в данном случае из 9 = 3 х 3 компонентов (элементов), каждый из которых есть определенная функция пространственных координат x 1 х 2 х 3 .

Таким образом, компоненты метрического тензора характеризуют локальные (местные) свойства пространства. В принципе, вышеприведенная формула есть не что иное, как обобщение на трехмерный случай известной всем теоремы Пифагора, справедливой в своей знакомой форме в евклидовой геометрии в виде: В этом частном случае компоненты матрицы метрического тензора равны 0 и 1. Единицы расположены на диагонали матрицы (число этих компонентов матрицы — 3), 0 расположены вне диагонали, и число их равно 6.

В любой геометрии существенное положение занимает вопрос о прямых или кратчайших линиях, соединяющих какие-либо две точки пространства. Так вот, в римановой геометрии, являющейся в простейшем случае геометрией двумерной сферы в трехмерном евклидовом пространстве, с отождествленными диаметрально противоположными точками, прямыми являются большие круги сферы. В результате любые две прямые пересекаются, плоскость не разделяет пространства, само пространство имеет положительную постоянную кривизну (у Лобачевского — постоянную отрицательную) и т. д.

Риман высказал гениальное предположение, что свойства физического пространства должны зависеть от происходящих в нем физических явлений. В дальнейшем эту идею Римана поддержал ирландский математик Уильям Клиффорд (1854–1879). Клиффорд высказал частное предположение, что гравитационные эффекты, возможно, обусловлены кривизной пространства. Гипотезы Римана и Клиффорда дождались своего часа только в XX веке, с появлением общей теории относительности Эйнштейна. Что же предопределило, в конечном итоге, необходимость в новой теории пространства и тяготения?

Принцип эквивалентности Эйнштейна. 10 лет упорной работы (с 1905 по 1915 гг.) понадобилось Эйнштейну, чтобы появилось одно из самых выдающихся научных творений человечества — общая теория относительности (ОТО) или теория тяготения Эйнштейна, которая связала тяготение и массу (как физические явления) с геометрией пространства и времени, обусловила их совместное сосуществование.

Краеугольный камень теории был заложен в 1907 г., когда Эйнштейн сформулировал принцип эквивалентности инертной и тяготеющей масс. Принцип этот есть дальнейшее современное развитие утверждения Галилея (ничто в науке не делается без предшественников!) о том, что в гравитационном поле все тела независимо от их массы приобретают одинаковые ускорения (но не так, как полагал об этом Аристотель). В мысленном эксперименте Эйнштейн обратил внимание, что наблюдатель, находящийся в закрытой (без окон) кабине, не в состоянии отличить влияние тяготения от эффектов ускоренного движения. В неподвижной кабине на Земле и в ней же, движущейся в свободном космическом пространстве, например, в ракете, с ускорением, равным земному ускорению падения, все предметы совершенно одинаково ускоряются по направлению к полу кабины. Значит, эффекты гравитации и ускоренного движения неразличимые Почему? С чем связывать природу такой неразличимости, тождественности?

Представим, и это есть второй мысленный эксперимент Эйнштейна, что мы находимся теперь в закрытом (снова без окон) лифте. Если трос лифта вдруг оборвется, то и сам лифт, и все предметы в нем, и наблюдатель, в том числе, начнут свободно и все с одинаковым ускорением падать под действием поля тяготения Земли. Наблюдатель не будет в этом случае чувствовать давления на пол лифта, т. е. не будет чувствовать своего веса, испытывая ощущение невесомости. Никакие эксперименты, проводимые в лифте, не позволят наблюдателю определить, падает ли он вместе с лифтом или свободно парит в космическом пространстве вдали от поля тяготения Земли (здесь мы имеем дело с обобщением принципа относительности на ускоренные системы). Из этого эксперимента Эйнштейн установил эквивалентность тяготения ускоренно движущимся системам отсчета — эффекты тяготения можно создавать или устранять, выбирая подходящие системы отсчета. В таком падающем лифте справедливы законы механики, а это значит, что ускоренные тела представляют собой локальные инерциальные системы отсчета (локальными считаются как ограниченный в размерах лифт, так и его ограниченное местоположение в пространстве). Тем самым Эйнштейн распространил концепцию инерциальной системы на все свободно падающие системы отсчета и отказался от их отождествления с абсолютным ньютоновым пространством (вот здесь-то и не понадобились пространства неевклидовых геометрий). Кроме того, Эйнштейн уточнил концепцию локальной системы и принципа эквивалентности, полагая, что они справедливы только в достаточно малых областях пространства, где силу тяжести можно считать постоянной (как это имеет место вблизи поверхности Земли).