Федор Константинов - Объективная диалектика

Гильберт и его последователи (так называемые формалисты) попытались в процессе обоснования понятия числа избежать тех трудностей, с которыми связана логика классов, считая, что это можно сделать при помощи аксиоматического определения числа. Они предложили следующую процедуру.

Принимается начальный знак «I» и процедура образования других знаков добавлением знака «I». Результатом ее применения будут знаки «II», «III» и т. д. Затем вводятся вспомогательные знаки-цифры (например, вместо «III» — «З»), знак «=», указывающий, что два знака имеют одинаковую структуру, знак «<���», указывающий, что один знак предшествует другому (так «II»< <���«III», т. е. если начать с «I», то сначала придем к «II», а затем к «III»), скобки. Далее вводится аксиоматика, задающая операции над знаками: аксиомы соединения, вычислительные аксиомы, аксиомы порядка, аксиомы непрерывности [227].

Доказательство непротиворечивости системы аксиом, по Гильберту, одновременно и доказательство существования чисел. Крайние формалисты считали число не более чем знаком, а содержание математики видели в манипулировании знаками, не имеющими смысла. Продолжающие в определенном смысле формализм интуиционисты и представители так называемого конструктивного направления в математике считают, что число определено только тогда, когда дан способ его вычисления. Иными словами, каждое отдельное число имеет значение лишь постольку, поскольку существует определенное отношение его к другим числам. (Назовем это направление в целом порядковой концепцией числа.)

В определении числа логицистами есть рациональные моменты. В концепции логицизма указывается на связь понятия числа с множествами объектов. В материальном мире действительно существуют системы, состоящие из множества элементов, причем в некоторых случаях множества элементов различных систем находятся в однозначном соответствии, а в других нет. Эта ситуация существует независимо от познающего субъекта. Следовательно, понятие числа имеет объективные основания.

Рациональное содержание имеется и в порядковой концепции числа. Здесь нужно учесть то положение, согласно которому конкретное число имеет значение только тогда, когда оно занимает определенное место в системе чисел. Энгельс отмечал: «Отдельное число получает некоторое качество уже в числовой системе и сообразно тому, какова эта система» [228]. Отношения между числами отражают объективные отношения между различными множествами объектов (или элементов систем), причем определенный тип отношений. Известен пример, хорошо иллюстрирующий эту ситуацию. При обычном определении сложения, например 2+2=4. Однако не каждые два объекта, соединяясь с двумя другими, дают четыре (в чем наглядно можно убедиться, поместив вместе двух кошек и двух мышей). 2+2=4 — это утверждение, сформулированное для некоторого типа отношений объектов. Предполагается, что все элементы множеств неизменны и сохраняют свою определенность при проведении над ними операции сложения.

Учитывая позитивные моменты в определении числа, отмеченные выше, можно охарактеризовать понятие числа как отражение объективного существования эквивалентных множеств объектов (элементов) и объективного существования отношений между неэквивалентными множествами, причем в отношениях множеств их элементы сохраняют свое существование и определенность. Такое понимание числа, как нам представляется, может быть распространено не только на натуральные числа, но и на другие виды чисел, поскольку последние фактически представляют собой результат определенных отношений между натуральными числами. Онтологически это соответствует все более сложным формам отношений между множествами элементов.

Утверждение о том, что число есть момент атрибута количества, иногда встречает возражения, сводящиеся к тому, что число — это понятие и, как таковое, не может быть моментом атрибута. Но, во-первых, нужно четко отличать число как объективное свойство множеств и отношений между множествами от цифры, которой обозначают некоторое конкретное число. Во-вторых, нужно помнить, что один и тот же термин часто обозначает и атрибут, и категорию, отражающую этот атрибут. Конечно, понятие числа, как и любая категория, существует в сознании, но соответствующий момент количественной определенности существует в объективной реальности.

Материальный объект с его качественной стороны представляет собой систему, обладающую определенностью, которая имеет свойства и состоит из элементов и т. д. Материальный объект с количественной стороны характеризуется прежде всего наличием некоторого числа свойств, элементов, структурных связей и т. д. Однако количественная сторона объекта не сводится только к числовым характеристикам. Каждое свойство, каждый элемент и т. д. в объекте имеет величину. Величина является вторым основным моментом количества.

Понятие величины имеет свое онтологическое основание. В достаточно полной форме оно пока еще не выявлено. Фактически нет развитого философского понятия величины как момента количества. Некоторые интуитивно очевидные представления о понятии величины явно неудовлетворительны (например, понимание величины как того, что может быть измерено или что может увеличиваться или уменьшаться). Еще Гегель писал в этой связи: «Обычно определяют величину как нечто, могущее увеличиваться или уменьшаться. Но увеличивать — значит сделать так, чтобы нечто было более велико, а уменьшать — сделать так, чтобы нечто было менее велико. В этом состоит отличие величины вообще от нее же самой, и величиной было бы, таким образом, то, величина чего может изменяться. Дефиниция оказывается постольку негодной, поскольку в ней пользуются тем самым определением, дефиниция которого еще должна быть дана» [229].

Необходимым аспектом величины прежде всего являются внутренние различия в объекте и связь различного. Ведь если бы в объекте, например, не было различия и связи между точками протяженности, то протяженность не имела бы величины, если бы не было различий и связи между временными моментами, то не было бы величины хронологической длительности, и т. д. Другим необходимым аспектом величины является то, что каждая отдельная величина находится (или может находиться) в отношении к другим величинам. Если в сфере качества существуют качественные отношения тождества и различия, то в сфере количества существуют отношения равенства и неравенства.

В математике имеется ряд попыток дать определение величины аксиоматическим путем [230]. Анализ некоторых таких попыток показывает, что величина характеризуется как находящаяся в отношениях равенства и неравенства с другими величинами (и это отношение может быть выражено числом), а также аддитивностью (величина некоторого целого равна сумме величин всех его составляющих) и, наконец, непрерывностью. Понятийный аппарат теории измерений также необходимым образом включает указанные признаки. По-видимому, эти признаки необходимо включить в определение величины.