Федор Константинов - Диалектика природы и естествознания

Важность метаисследований в математике определяется тем, что «вторичное» отражение по существу есть дополнение и продолжение «первичного» отражения. Исследование знания есть одно из средств изучения того объективного содержания, которое отражено в нем. То же можно сказать и об изучении познавательных процедур. Зная какую-либо познавательную процедуру, можно найти вид знания, которое с ее помощью было получено, и на основании последнего определить объективный аналог этого знания [21]. Однако отметим еще раз, что метаисследование следует рассматривать как вспомогательный вид познания, подчиненный главной задаче — познанию объективного мира.

Метаисследование в таком понимании не только не совпадает, но прямо противоположно тому, что принято называть метаматематикой. Дело в том, что метаисследования относятся к идеальным, абстрактным объектам — понятиям, смыслам, суждениям, в то время как метаматематика имеет дело только с конкретными «объектами» вроде знаков какого-нибудь искусственного языка, значения которых в рамках метаматематического исследования не принимаются во внимание. Формальные системы, «представляющие» тот или иной раздел содержательной математики, изучаются в метаматематике как материальные объекты со структурой, подобно фигурам в геометрии, им можно приписывать только такие свойства и отношения, которые воспринимаются непосредственно. Объект метаматематики — это результат «двойного отрицания» первичного, объективно-реального объекта. Здесь происходит возврат к чувственному созерцанию изучаемых отношений, но уже между не «естественными», а искусственными объектами.

Однако в некоторых работах по философии математики отмечается, что основным объектом математического познания является не реальный объект, а метаобъект или даже «метаметаобъект». Гносеологическим источником этой ошибки является относительная независимость метаобъекта. Известно, что даже наиболее элементарные понятия математики абстрактны по своему содержанию. Поэтому при создании математических теорий приходится учитывать не столько содержательные, сколько формальные, логические, независимые от конкретного содержания отношения между понятиями. Известно, что уже на заре развития математики достоверность выводов определялась не содержательными, а формальными критериями, поскольку математика сама по себе не содержит критериев, позволяющих отличать утверждения, относящиеся к действительности, от утверждений, имеющих только математический смысл. Так, понятие существования в математике значительно отличается от понятия объективно-реального существования [22].

Эти обстоятельства и способствуют тому, что иногда в сознании некоторых математиков метаобьект получает статус самостоятельного существования, утрачивается представление о его вторичности, зависимости от объекта и субъекта, математические понятия начинают рассматриваться уже не как образ объективной реальности, а как сама эта реальность. В этом случае метаобъект вместо того, чтобы выполнять роль «оптического прибора», позволяющего лучше рассмотреть объект, становится как бы экраном, заслоняющим его от взоров исследователя [23]. Отсюда возникает иллюзия, что метаобъект есть не только главный, но и вообще единственный объект изучения, математика превращается из науки о свойствах объективного мира в науку о математическом знании и способах его получения, что в итоге приводит к субъективно-идеалистической трактовке ее объекта. Это можно проиллюстрировать на нескольких примерах историко-философского рассмотрения этой проблемы.

Так, известно, что Платон настолько абсолютизировал понятия математики, что превращал их в самостоятельные трансцендентные «идеи», вечные идеальные формы, знание о которых душа приобретает во время пребывания в потустороннем мире [24]. В этом случае основные понятия математики оказываются врожденными, не зависящими как от личного, так и от коллективного опыта людей, «открываются», а не «изобретаются». Последователи Платона абсолютизируют относительную независимость математического знания от эмпирического содержания. Объективность содержания понятий истолковывается в том смысле, что и они сами, а не только их прообразы существуют вне и независимо от сознания.

Математическое знание действительно обладает известной независимостью от эмпирического опыта, но эта независимость не абсолютна, она имеет свои границы [25]. Математика не является теорией, выведенной из априорного основания. Хотя ее основные понятия и невыводимы непосредственно из эмпирического опыта, а являются результатом творческой, конструктивной деятельности мышления, но мотивы и цели этой деятельности детерминированы факторами, находящимися в объективном мире.

Для идеалистического рационализма математика была знанием автономным, независимым от эмпирии и в то же время имевшим объективное значение. При этом полагалось, что применимость математики к наукам о природе свидетельствует о гармонии разума и бытия. Новые открытия в математике заставили сторонников рационализма отказаться от первоначальных упрощенных представлений об этой гармонии и искать возможности для установления более сложных ее форм. Когда было обнаружено, что относительно некоторой «математической реальности» можно построить несколько непротиворечивых, но несовместимых теорий, стало ясно, что в данном случае выбор между ними нельзя сделать на основе «разума». Тогда пришли к выводу, что этот вопрос должен решаться в «опыте».

Если в платонизме абсолютизировалась относительная самостоятельность понятийного компонента математического познания, то в кантовской философии математики абсолютизировалась сама «математическая деятельность». Так как «мы a priori, — писал И. Кант, — познаем о вещах лишь то, что вложено в них нами самими», — объекты, познаваемые нами посредством «априорного созерцания», суть продукты нашего собственного воображения [26]. Он считал, что в математике познание происходит путем «конструирования понятий». «…Конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание», некоторый наглядный образ. Следовательно, в математическом познании мы рассматриваем не внешнюю реальность (материальную или, как считал Платон, идеальную), а результаты деятельности рассудка и воображения, раскрывающей содержание (эксплицирующей) «чистой интуиции пространства» [27].

То, что Кант стремился показать единство образного и дискурсивного (понятийного) моментов в математическом познании, подчеркивало важную роль в нем творческой, конструктивной деятельности субъекта, имело положительное значение. Однако при этом он истолковывал неконструктивные компоненты математического знания не как отражение внешнего мира, а как данные a priori, т. е. мистически. Архаичным выглядит и его стремление уложить все многообразное содержание математики в рамки «евклидовой интуиции» пространства, ограниченность которой обнаружилась уже с открытием неевклидовых геометрий. Но это было позже. А тогда, как справедливо заметил М. Бунге, «из всего солидного вклада Канта (в философию математики. — Авт.) его идея чистой интуиции оказалась наименее ценной, но, к сожалению, не наименее влиятельной» [28].