Федор Константинов - Диалектика природы и естествознания

Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 43.

См. Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 29, с. 229.

См. Зубков И. Ф. Проблемы геологической формы движения. М., 1979, с. 42–57.

См. Орлов В. В. Развитие материи как закономерный процесс. Развитие материи как закономерный процесс. Пермь, 1978.

См. Ахлибининский Б. В. Проблемы прогнозирования и управления научно-техническим прогрессом. Л., 1974, с. 168.

По философским проблемам математики см.: Акперов М. С. Роль математики в познании. М., 1967; Киселева Н. А. Математика и действительность. М., 1967; Рузавин Г. И. О природе математического знания. М., 1968; Мариничев Э. А. Математика — язык науки. Л., 1969; Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. М., 1969; Нысанбаев А. Н., Шляхин Г. Г. Развитие познания и математика. Алма-Ата, 1971; Федоров И. Г. Некоторые методологические проблемы математики. М., 1975; Жуков Н. И. Философские проблемы математики. Минск, 1977; Кедровский О. И. Методологические проблемы развития математического познания. Киев, 1977; Шляхин Г. Г Математика и объективная реальность. Ростов-на-Дону. 1977.

См. Кедровский О. И. Методологические проблемы развития математического познания, с. 167.

Люди в своей повседневной практике никогда не имели дела с «чистым количеством», а всегда с количеством определенного качества. Это обстоятельство отразилось и в языке. До сих пор во многих языках пользуются различными числительными для выражения одного и того же количества, если речь идет о вещах различного качества (ср. русское: «четверо детей», но «четыре комнаты»). Мера как характеристика вещи была известна людям раньше, чем ее количественный момент. Путь познания идет не от количества к качеству и мере, а от качества к мере и количеству (см. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М., 1972).

К числу их принадлежат Р. Декарт, Г. В. Лейбниц, Дж. Буль. «К области математики, — писал Декарт, — относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое» (Антология мировой философии, т. 2. М., 1970, с. 277). Позже идею «универсальной математики» развивал Лейбниц. В XIX в. Дж. Буль, открывший изоморфизм алгебраических и логических структур, утверждал, что «в природе математики не заложена необходимость заниматься идеями числа и величины… Математика трактует об операциях, рассматриваемых самостоятельно, вне зависимости от конкретных предметов, к которым они могли бы применяться» (Boole G. Collected Loqical Works, v. 2. Chicaqo — London, 1916, p. 13).

Гегель. Наука логики, т. 1. М., 1970, с. 436.

В связи с этим Э. В. Бет пишет об «объекте I» и «объекте 2» (Beth Е. W. The Foundations of Mathematics. Amsterdam, 1959, p. 615).

См. Материалистическая диалектика, т. 1. М., 1981, с. 17.

См. Любищев Д. А. О критериях реальности в таксономии. — Информационные вопросы семиотики, лингвистики и автоматического перевода, вып. 1. М., 1971.

В этой связи следует напомнить мысль В. И. Ленина о том, что математизация физики в конце XIX в. породила «забвение материи математиками», стала одной из причин «физического» идеализма (Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 18, с. 326).

См. Платон. Собр. соч. в 3-х т., т. 1. М., 1968, с. 384–393.

См. Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 29, с. 478.

См. Кант И. Соч. в 6-ти т., т. 3. М., 1964, с. 88.

См. там же, с. 130–135, 600.

Бунге М. Интуиция и наука. М., 1967, с. 17

Гейтинг А. Интуиционизм М., 1965. с. 17–19.

Согласно Дж. С. Миллю, математика описывает наиболее общие черты опыта, теоремы ее суть законы природы, полученные путем наблюдений и обобщений (см. Милль Дж. Система логики силлогистической и индуктивной. М., 1914).

См. Жуков Н. И. Философские проблемы математики.

Хотя математические понятия и абстрактны по своему содержанию, но это не значит, что они являются понятиями, полученными в результате отвлечения части свойств от эмпирически данного содержания, Понятие может быть абстрактным, даже если оно ни от чего не отвлечено, а «сконструировано». Абстракции обычно дают возможность понять, что послужило их источником, но «конструкции» могут и не иметь прямых аналогов во внешнем мире. С нашей точки зрения, необходимо различать два значения термина «абстракция»: а) как результат абстрагирования и б) как неполное, отвлеченное, ненаглядное знание.

См. Бранский В. П. Философские основания проблемы синтеза релятивистских и квантовых принципов. Л., 1973, с. 40–42, 67–69.

См. Карри X. Основания математической логики. М., 1969, с. 36.

Хотя Д. Гильберт не был формалистом, но его программа обоснования математики была формалистической, ибо сводилась к доказательству некоторого синтаксического свойства формализованной математики.

См. Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 29, с. 99.

Шляхин Г. Г. Математика и объективная реальность, с. 110. О. И. Кедровский также считает недопустимой абсолютизацию «роли математически выразимого количества и отождествления последнего с философской категорией количества» (Кедровский О. И. Методологические проблемы развития математического познания, с. 158).

Это подчеркивают представители французской школы математиков, выступающие под псевдонимом Н. Бурбаки (Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963, с. 258).

Федоров И. Г. Некоторые методологические проблемы математики, с. 88.

Эта точка зрения в настоящее время является преобладающей и высказывается целым рядом авторов. Вместе с тем некоторые авторы (И. А. Акчурин и Э. А. Мариничев) утверждают, по нашему мнению неосновательно, что количественные отношения представляют собой частный случай структурных.

См. Математика. БСЭ, изд. 3, т. 15, с. 474.

См. Материалистическая диалектика, т. 1, с. 157.

На наш взгляд, неправильно характеризовать с помощью признака «безразличия» не только структуры, но и качество. У Гегеля, на которого по данному поводу часто ссылаются современные математики, «безразличие» количества к бытию есть лишь одна из характеристик количественной определенности, «снимающая» себя при переходе к качеству и мере. Так, Гегель пишет, что количество есть в себе качество и «то, благодаря чему нечто есть то, что оно есть, — это истина определенного количества, мера» (Гегель. Наука логики, т. 1, с. 413, 415). Все универсальные свойства материального объекта образуют единую систему, поэтому ни один из них не может быть безразличным для его бытия (см. Материалистическая диалектика, т. 1, с. 154).