Бертран Рассел - Мудрость Запада

Другой вопрос, имеющий особый интерес для логиков, был поднят к концу XIX в. Математики с древнейших времен претендовали на то, что вся их наука как система может быть выведена из единственной отправной точки или, по меньшей мере, из возможно меньшего их числа. Это один из аспектов Сократовой интерпретации Добра. Элементы у Евклида представляют пример того, что требовалось в данном случае, даже если трактовка Евклида несовершенна.

В арифметике небольшой набор постулатов, из которых может быть выведено все остальное, был предложен итальянским математиком Пеано. Основных утверждений пять. Все вместе они определяют класс прогрессий, одним из примеров которых является ряд натуральных чисел. Вкратце эти постулаты утверждают, что преемник каждого числа - это также число и что каждое число имеет одного и только одного преемника. Ряд начинается с нуля, который является числом, но сам не является преемником числа. И наконец, есть принцип математической индукции, посредством которого установлены общие свойства, относящиеся ко всем членам ряда. Этот принцип звучит так: если данное свойство любого числа n имеет также его преемник и число нуль, тогда оно относится к каждому числу ряда.

Со времени Пеано возник новый интерес к вопросам об основах математики. В этой области существуют две противоположные школы мышления. С одной стороны, формалисты, их в основном заботит последовательность ряда; а с другой стороны, институционалисты, которые придерживаются отчасти позитивистской линии и требуют, чтобы мы могли показать то, о чем говорится.

Общей чертой этих математических направлений является их интерес к логике. Казалось, что здесь в ряде случаев логика и математика как бы сливаются. Со времен Канта, который считал логику завершенной наукой, в логической теории произошли большие перемены. В частности, были развиты новые формы трактовки логических доказательств посредством математических формул. Первое систематическое обоснование этого нового способа обращения с логикой было предпринято Фреге (1848-1925), чью работу, однако, совершенно игнорировали в течение двадцати лет, пока я в 1903 г. не привлек к ней внимание. В своей стране он. долго оставался неизвестным профессором математики. И только в последние годы стали признавать его значение как философа.

Математическая логика Фреге берет свое начало в 1879 г. В 1884 г. он опубликовал свои "Основные законы арифметики", в которых этот метод применен для более радикального рассуждения о проблемах, поднятых Пеано. Аксиомы Пеано, несмотря на их компактность, тем не менее неудовлетворительны с логической точки зрения. Несколько спорным выглядело то, что именно эти, а не другие утверждения должны быть основой математической науки. Сам Пеано никогда не заходил так далеко, чтобы рассматривать эти вопросы.

С чего начал Фреге, так это с того, чтобы показать аксиомы Пеано как логическое следствие из своей символической системы. Это должно было сразу удалить некоторый налет произвольности и показать, что чистая математика это просто продолжение логики. В частности, было необходимо получить некоторое логическое определение самого числа. Представление, сводящее математику к логике, просится само из аксиом Пеано, поскольку основной словарь математики ограничивается двумя терминами - "число" и его "преемник". Второй из них - общий логический термин; чтобы свести наш словарь к логической терминологии, мы просто должны дать логическое объяснение первого. Это и сделал Фреге, определяя число посредством чисто логических понятий. Его определение выглядит почти так же, как то, которое дано Уайтхедом и мной в "Principia Mathematica". Там утверждается, что число - это класс всех классов, подобных данному классу. Так, каждый класс из трех объектов - это пример числа три, которое само является классом всех таких классов. Что касается числа в общем, это - класс всех конкретных чисел, и, таким образом, он оказывается классом третьего порядка.

Одной, возможно неожиданной, чертой, вытекающей из этого определения, является то, что числа нельзя складывать. В то время как вы можете сложить тройку яблок с парой груш и получить пять плодов, вы не можете сложить класс всех троек с классом всех двоек. Но, как мы видели, в действительности это не такое уж новое открытие. Уже Платон сказал, что числа не могут быть суммированы.

Анализ математики привел к тому, что Фреге сформулировал различие между смыслом суждения и его произнесением. Это требуется для объяснения того факта, что равенства - это не просто пустые повторения. Две части равенства имеют общее звучание, но различаются по смыслу.

В качестве системы символической логики обоснование Фреге не привлекло большого внимания, отчасти, без сомнения, из-за запутанности записи. Символы, использованные в "Principia Mathematica", кое-чем обязаны символам, применявшимся Пеано, и были найдены более приемлемыми. С тех пор большое количество записей стало использоваться в области математической логики. Одна из самых изящных из них была развита известной польской школой логиков, которая распалась во время последней войны. Подобно этому были сделаны значительные усовершенствования в способе компактности как записи, так и числа фундаментальных аксиом этой системы. Американский логик Шеффер ввел единственную логическую постоянную, в терминах которой, в свою очередь, могли бы быть определены предположительные исчисления. С помощью новой логической постоянной система символической логики могла опираться на единственную аксиому. Но все это - чисто технические вопросы, которые не могут быть объяснены в подробностях здесь.

Математическая логика с чисто формальной стороны не является более делом философов как таковых. Ее взяли в свои руки математики, хотя, конечно, это - математики совершенно особого сорта. Для философа представляют интерес проблемы, которые возникают из общих предположений о символизме, сделанных прежде, чем система приобретает вес. Ему также интересны парадоксальные заключения, к которым иногда приходят при построении символической системы.

Один из таких парадоксов возникает в связи с определением числа в "Principia Mathematica". Его причиной стало понятие "класс всех классов". Поскольку очевидно, что класс всех классов - сам по себе класс и, следовательно, относится к классу всех классов, то он содержит в себе себя как одного из своих членов. Существует, конечно, много других классов, которые не имеют этого качества. Класс всех избирателей сам не имеет привилегий всеобщего избирательного права. Здесь возникает парадокс, при котором мы рассматриваем класс всех классов, которые не являются членами себя.