Вячеслав Кириллов - Логика: учебник для юридических вузов

Алфавит языка логики предикатоввключает следующие виды знаков (символов):

1) а, b, с,... — символы для единичных (собственных или описательных) имен предметов; их называют предметными постоянными, или константами;

2) х, у, z,... — символы общих имен предметов, принимающие значения в той или другой области; их называют предметными переменными;

3) Р 1 , Q 1 , R 1 , ... — символы для предикатов, индексы над которыми выражают их местность; их называют предикатными переменными;

4) р, q, r,... — символы для высказываний, которые называют пропозициональными переменными(от латинского propositio — «высказывание»);

5) ∀, Ǝ— символы для количественной характеристики высказываний; их называют кванторами: ∀— квантор общности; он символизирует выражения — все, каждый, всякий, всегда и т. п.; Ǝ— квантор существования; он символизирует выражения — некоторый, иногда, бывает, встречается, существует ит.п.;

6) логические связки:

∧— конъюнкция (связка «и»);

∨— дизъюнкция (связка «или»);

→ — импликация (связка «если..., то...»);

≡ — эквиваленция, или двойная импликация (связка «если, и только если..., то...»);

˥ — отрицание («неверно, что...»).

Технические знаки языка: (,) — левая и правая скобки.

Других знаков данный алфавит не включает. Допустимые, т. е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами — ППФ. Понятие ППФвводится следующими определениями:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r,... есть ППФ.

2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А 1 (х), А 2 (х, у), А 3 (х, у, z), А n (х, у, …, n), где А 1 , А 2 , А 3 , ..., А n — знаки метаязыка для предикатов.

3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения ⊃хА (х)и Ǝ хА (х)также будут ППФ.

4. Если Аи В— формулы (А и В — знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:

А ∧В,

А ∨В,

А → В,

А ≡ В,

˥А, ˥В

также являются формулами.

5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1—4, не являются ППФ данного языка.

Язык логики предикатов может быть использован в дальнейшем изложении для анализа отдельных фрагментов естественного языка.

1. Что такое язык? Приведите определение.

2. Какие языки относятся к естественным и какие к искусственным?

3. Что представляет собой язык логики предикатов? Какие знаки (символы) включает алфавит этого языка?

Логика, изучающая познающее мышление и применяемая как средство познания, возникла и развивалась как философская наука. Она сформировалась более двух тысяч лет назад, в IV в. до н. э. Ее основателем является древнегреческий философ Аристотель(384—322 гг. до н. э.). В своих логических трудах, получивших общее название «Органон» (греч. «орудие, инструмент познания»), Аристотель сформулировал основные законы мышления: тождества, противоречия и исключенного третьего, описал важнейшие логические операции, разработал теорию понятия и суждения, обстоятельно исследовал дедуктивное (силлогистическое) умозаключение. Аристотелевское учение о силлогизме составило основу одного из направлений современной математической логики — логики предикатов .

Важным этапом в развитии учения Аристотеля явилась логика античных стоиков(Зенон, Хрисипп и др.), дополнившая аристотелевскую теорию силлогизма описанием сложных умозаключений. Логика стоиков — основа другого направления математической логики: логики высказываний.

Среди других античных мыслителей, развивающих и комментирующих учение Аристотеля, следует назвать Галена, Порфирия, Боэция, сочинения которого длительное время служили основными логическими пособиями.

Логика развивалась и в Средние века, однако схоластика исказила учение Аристотеля, приспособив его для обоснования религиозной догматики.

Значительны успехи логической науки в Новое время. Важнейшим этапом в ее развитии явилась теория индукции, разработанная английским философом Ф. Бэконом(1561—1626). Бэкон разработал методы научной индукции, систематизированные впоследствии английским философом и логиком Дж. С. Миллем(1806—1873).

Дедуктивная логика Аристотеля и индуктивная логика Бэкона — Милля составили основу общеобразовательной дисциплины, которая в течение длительного времени была обязательным элементом европейской системы образования и составляет основу логического образования в настоящее время.

Эту логику принято называть формальной, так как она возникла и развивалась как наука о формах мышления. Ее называют также традиционной, или аристотелевской, логикой.

Дальнейшее развитие логики связано с именами французского философа Р. Декарта(1596—1650), внесшего существенный вклад в дедуктивную логику [10] В 1662 г. в Париже вышла книга «Логика, или Искусство мыслить», написанная последователями Декарта А. Арно и П. Николем, известная также под названием «Логика Пор-Рояля». Книга оказала заметное влияние на последующую историю развития логики. ; немецкого философа Г. Лейбница(1646—1716), сформулировавшего закон достаточного основания, выдвинувшего идею математической логики, которая получила развитие значительно позднее; немецкого философа И. Канта(1724— 1804) и многих других европейских философов и ученых.

Ряд оригинальных логических идей выдвинули и развили мыслители стран Востока: Ибн Сина (Авиценна), Ибн Рушд (Аверроэс)и др.

Значительны заслуги в развитии логики русских философов и ученых. Ряд оригинальных идей выдвинули М. В. Ломоносов(1711—1765), А. Н. Радищев(1749—1802), Н. Г. Чернышевский(1828—1889). Известны своими новаторскими идеями в теории умозаключений русские логики М. И. Каринский(1840—1917) и Л. В. Рутковский(1859—1920). Одним из первых начал развивать логику отношений философ и логик С. И. Поварнин(1870—1952).

Во второй половине XIX в. в логике начинают широко применять разработанные в математике методы исчисления. Это направление разрабатывалось в трудах Д. Буля, У. С. Джевонса, П. С. Порецкого, Г. Фреге, Ч. Пирса, Б. Рассела, Я. Лукасевичаи других математиков и логиков. Теоретический анализ дедуктивных рассуждений методами исчисления с использованием формальных языков получил название математической, или символической, логики [11] Математической логикой называют также особый раздел современной математики, исследующий специфику математических рассуждений и доказательств. .