Коллектив авторов - Антология реалистической феноменологии

Из вышесказанного следует, что мы должны и можем полагать бесконечное чисто в себе самом – как прафеномен. И при этой возможности стоило бы вспомнить, что хотя теорию актуальной бесконечности по праву связывают с именем Кантора , но она уже задолго до Кантора стала фундаментом философских и математических умозрений. Но также о Больцано , его гениальном предшественнике, который был не понят в свое время, а также забыт потомками, мы в данный момент говорить не хотим, но хотим говорить о великом основателе современной философии и науки: о Декарте , который силой и глубиной взгляда, продуманного еще дальше, чем у Кантора, не только зафиксировал объективную законность «бесконечного» [348]и указал на невозможность поставить на ее место только неопределенное, но и сделал бесконечность принципиальным основанием учения о конечном.

Больцано отчетливо признал законность и объективную необходимость актуальной бесконечности. В небольшой книге «Парадоксы бесконечного» (Регенсбург, 1837) он показал парадоксальный характер выводов, которые при этом хотят получить, и одновременно доказал совершенно иллюзорную природу мнимых противоречий, создав понятие эквивалентности, в области бесконечного соответствующее равенству для конечных чисел и сумм. Ибо хотя гипотеза, согласно которой конечное число должно быть равно своей половине, очевидно, противоречива и абсурдна, но никоим образом не в отношении того, что бесконечное целое эквивалентно своей части. Так, например, количество конечных чисел с необходимостью бесконечно, а именно актуально бесконечно – здесь мы должны рассматривать числа в качестве данных до акта счета; несмотря на это, количество всех четных или всех простых чисел нельзя определить – в чем мы легко можем убедиться, если установим однозначное и взаимное сочетание совокупности всех чисел с совокупностью четных или простых чисел. Аналогично этому, количество всех рациональных чисел или даже всех алгебраических чисел не «больше» количества целых чисел. Все эти множества эквивалентны между собой, и количество всех алгебраических чисел не больше количества чисел как таковых в границах О и I, или обобщеннее выраженного в каких-нибудь заданных пределах. Вследствие этой зафиксированности мы легко понимаем, почему возможность сочетать все без остатка точки двух различных отрезков пути ни в коей мере не подразумевает равенства этих отрезков. Эквивалентность не означает равенство; дело в том, что первая относится к бесконечному, а последнее к конечному.

Кантор, развивший идеи Больцано далее, пришел к гораздо более интересным результатам. Он дерзко сделал исходным пунктом своих исследований понятие бесконечного множества, бесконечного количества и таким образом обосновал «арифметику бесконечного». Применив понятие порядка к бесконечности, он создал понятие трансфинитного порядкового числа. Мы можем далее не заниматься этой теорией, мы коснемся здесь только следующих отдельных моментов:

1. Кантор определяет бесконечное множество посредством его свойства быть эквивалентным собственной части или, как говорит он, быть со своей частью одной мощности. При этом оказывается, что формально конечное множество можно определить не иначе, как посредством негативного свойства: не быть равной мощности с частью самого себя: это, со своей стороны, означает, что данное множество как раз не является бесконечным. Вследствие этого в логической конструкции арифметики понятие бесконечного и теория множеств должны были бы предшествовать арифметике конечных чисел, логически предшествовать ей, служить ее фундаментом. Понятие бесконечного – это предпосылка в арифметике, так же, как и в геометрии. Более глубокая причина заключается в самой сущности конечного числа. Поскольку ряд конечных чисел с необходимостью продолжается до бесконечности, то, видимо, понятие бесконечности уже должно содержаться в определении конечного числа.

2. Исследования Кантора о понятии предела и континуума привели к результату исключительной важности: континуум не равен по мощности рассчитываемому бесконечному, но в сравнении с ним обладает бесконечно большей мощностью. Итак, существуют, по меньшей мере, две бесконечности! [349]

При анализе предела наталкиваются на то, что Кантор называет «точкой скопления». Он определяет ее посредством того факта, что всегда на каком-то расстоянии от данной точки наталкиваются на точку, которая относится к ряду; из этого непосредственно следует, что эти «наиболее сближенные» точки существуют в бесконечном числе и нет еще более близких. Пытаясь установить существенные свойства континуума, Кантор пришел к следующим характеристикам, которые, правда, в отличие от того, что он полагал, и как мы также продемонстрируем, не могут использоваться для «определения» континуума: все точки континуума являются точками скопления, и все точки скопления относятся к единству или к совокупности самого континуума. Говоря научным языком: единство континуума – это единство полной когерентности или плотности. Между какими-нибудь двумя точками одного континуума с необходимостью имеется одна (непрерывная) необходимость в соотношении с другой. Не существует двух точек, которые граничат друг с другом; они отделены друг от друга подобной же бездной бесконечности точек. Здесь дихотомия появляется в последний раз, и здесь мы с ней также окончательно расстаемся. Ведь если здесь, как показано, существует общая для всех математических дисциплин проблема, и трудности, которая она в себе заключает, не суть противоречия, но только парадоксы, то нам нет необходимости учитывать их в позитивном анализе движения. Повсюду, где мы оперируем такими понятиями, как расстояние, прямая, путь, тело, мы находимся в сфере, где проблема Зенона считается разрешенной, поскольку иначе все эти понятия, прямая, путь, расстояние, тело, не имели бы смысла. Эта проблема относится к гораздо более глубокому слою – слою чистой математики. Для измерения, в котором движение вообще принимается в расчет, проблема Зенона уже не существует.

Мы не можем перейти к анализу движения, не сказав несколько слов о континууме. Кантор, который с такой силой и точностью обнаружил невозможность определить бесконечное, странным образом заблуждался, когда полагал, что континуум невозможно реконструировать из простых элементов, и пытался дать конструктивное определение континуума, или, скорее, непрерывного количества. Вместе с Расселом он надеялся найти такое определение. Выше мы уже его упоминали. По нашему мнению, такое определение можно понимать только как развитие простого буквального смысла «непрерывной величины», но отнюдь не в качестве конструктивного определения. Идея непрерывности, континуума – это простая идея, которую невозможно свести ни к какой другой – в той же мере, как и идею бесконечного. Определение Кантора зацикливается. Если говорят, что непрерывная совокупность должна быть полной, то этим выражают лишь тот факт, что в совокупности должны быть все точки скопления включительно – идея, которая имплицирует идею «других» точек скопления, в качестве точек скопления, принадлежащих ряду, бесконечной совокупности точек «между» и «за пределами» точек данной совокупности. Что с другой стороны является не чем иным, как идеей непрерывной «середины». Можно было бы даже сказать, что уже идея границы предполагает идею континуума.