Георг Гегель - НАУКА ЛОГИКИ. том 1

Понятие бесконечного, как оно изложено здесь абстрактно, окажется лежащим в основании математического бесконечного, и оно само сделается яснее, когда мы рассмотрим различные ступени выражения определенного количества как момента отношения , начиная с низшей ступени, на которой оно еще есть вместе с тем определенное количество как таковое, и кончая высшей, где оно получает значение и выражение бесконечной величины в собственном смысле.

Итак, возьмем сначала определенное количество в том отношении , в котором оно есть дробное число . Такая дробь, например, 2/7 не есть такое определенное количество, как 1, 2, 3 и т. д.; она есть, правда, обыкновенное конечное число, однако не непосредственное, подобно целым числам, а, как дробь, определенное посредственно двумя другими числами , которые суть в отношении друг друга численность и единица, причем и единица также есть некоторая численность. Но взятые абстрагированно от этого их ближайшего определения в отношении друг друга и рассматриваемые лишь со стороны того, что в том качественном соотношении, в котором они здесь находятся, происходит с ними, как с определенными количествами 2 и 7 помимо этого соотношения суть безразличные определенные количества; но так как они здесь выступают как моменты друг друга и, стало быть, некоторого третьего (того определенного количества, которое называется показателем), то они имеют значение не как 2 и 7, а лишь со стороны их определенности в отношении друг друга . Вместо них можно поэтому поставить также 4 и 14 или 6 и 21 и т. д. до бесконечности. Тем самым они, следовательно, начинают получать качественный характер. Если бы они имели значение просто как определенные количества, то пришлось бы признать, что 2 и 7 суть одно – лишь 2, а другое – лишь 7; 4, 14, 6, 21 и т. д. суть безоговорочно нечто другое, чем эти числа и, поскольку они суть лишь непосредственные определенные количества, они не могут быть подставлены одни вместо других. Но поскольку 2 и 7 имеют значение не со стороны той определенности, что они суть такие определенные количества, постольку их безразличная граница снята; они, стало быть, с этой стороны заключают в себе момент бесконечности, ибо они не только как раз уже больше не суть то, что они суть, а еще кроме того сохраняется их количественная определенность, но как в себе сущая качественная определенность, – а именно, согласно тому, что они значат в отношении. Вместо них может быть поставлено бесконечное множество других чисел, так что величина дроби не изменяется вследствие той определенности, которую имеет отношение.

Но выражение, которое бесконечность находит в изображении ее числовой дробью, еще несовершенно потому, что оба члена дроби, 2 и 7, могут быть изъяты из отношения, и тогда они суть обыкновенные безразличные определенные количества; их соотношение, то обстоятельство, что они суть члены отношения и моменты, есть для них нечто внешнее и безразличное. И точно так же само их соотношение есть обыкновенное определенное количество, показатель отношения.

Буквам , которыми оперируют в общей арифметике, т. е. ближайшей всеобщности, в которую возводятся числа, не присуще свойство обладать определенной числовой величиной; они суть лишь всеобщие знаки и неопределенные возможности любой определенной величины. Дробь a/ b представляется поэтому более подходящим выражением бесконечного, так как a и b , изъятые из их взаимоотношения, остаются неопределенными и не обладают особой им принадлежащей величиной, даже будучи отделены друг от друга. – Однако, хотя эти буквы положены как неопределенные величины, их смысл все же состоит в том, что они суть какое-либо конечное определенное количество. Так как они суть хотя и всеобщее представление, но лишь об определенном числе , то для них равным образом безразлично то обстоятельство, что они находятся в отношении, и вне последнего они сохраняют то же самое значение.

Если присмотримся еще ближе к тому, что представляет собою отношение, то мы увидим, что ему присущи оба определения: оно, во-первых , есть некоторое определенное количество, но последнее есть, во-вторых , не некоторое непосредственное, а определенное количество, содержащее в себе качественную противоположность; оно вместе с тем остается в отношении тем данным, безразличным определенным количеством благодаря тому, что оно возвращается из своего инобытия, из противоположности, в себя, и, следовательно, есть также некоторое бесконечное. Эти два определения, развитые в их отличии друг от друга, представляются в следующей общеизвестной форме.

Дробь 2/7 может быть выражена как 0,285714…, 1/(1-a), – как 1 + a + a2 + a3 и т. д. Таким образом, она имеет бытие как некоторый бесконечный ряд ; сама дробь называется суммой или конечным выражением этого ряда. Если сравним между собою эти два выражения, то окажется, что одно, бесконечный ряд, уже представляет ее не как отношение, а с той стороны, что она есть некоторое определенное количество как множество таких количеств, которые присоединяются одно к другому, – как некоторая численность. – Что величины, долженствующие ее составить как некоторую численность, сами в свою очередь состоят из десятичных дробей, сами, следовательно, состоят из отношений, это здесь не имеет значения; ибо это обстоятельство касается особого рода единицы этих величин, а не их, поскольку они конституируют численность ; ведь и состоящее из нескольких цифр целое число десятеричной системы также считается по существу одной численностью и не обращается внимания на то, что она состоит из произведений некоторых чисел на число десять и его степени. Равным образом здесь не имеет значения то обстоятельство, что имеются другие дроби, нежели взятая в виде примера дробь 2/7, которые, будучи обращены в десятичные дроби, не дают бесконечного ряда; однако каждая из них может быть изображена как таковой ряд в числовой системе другой единицы.

Так как в бесконечном ряде, который должен представлять собою дробь как некоторую численность, исчезает тот аспект, что она есть отношение, то исчезает также и тот аспект, что она, как мы показали выше, имеет бесконечность в ней (в дроби). Но эта бесконечность вошла другим образом, а именно, сам ряд бесконечен.

Какого рода эта бесконечность ряда, явствует само собою; это – дурная бесконечность прогресса. Ряд содержит в себе и представляет собою то противоречие, что нечто, являющееся отношением и имеющее внутри себя качественную природу, изображается как лишенное отношений, как исключительно только определенное количество , как численность. Следствием этого противоречия оказывается то, что в численности, выражаемой в ряде, всегда чего-то недостает, так что всегда нужно выходить за пределы того, что положено, чтобы достигнуть требуемой определенности. Закон этого поступательного движения известен; он заключается в определении определенного количества, содержащегося в дроби, и в природе формы, в которой это определение должно быть выражено. Можно, правда, посредством продолжения ряда сделать численность столь точной, сколь это нужно . Однако изображение численности посредством ряда всегда остается лишь долженствованием ; оно обременено некоторым потусторонним , которое не может быть устранено, так как выражению в виде численности того, что основано на качественной определенности, представляет собою постоянное противоречие .