Георг Гегель - НАУКА ЛОГИКИ. том I

Категория непрерывной или текучей величины появляется вместе с рассмотрением внешнего и эмпирического изменения величин, приведенных некоторым уравнением в такую связь, что одна есть функция другой; но так как научным предметом диференциального исчисления служит известное (обыкновенно выражаемое через диференциальный коэфициент) отношение , каковая определенность может быть названа также и законом , то для этой специфической определенности простая непрерывность есть отчасти чужеродный аспект, отчасти же во всяком случае абстрактная, а здесь- пустая категория, так как ею ничего не выражается о законе непрерывности. — В какие формальные дефиниции при этом кроме того впадают, показывает остроумное общее изложение моим уважаемым коллегой проф. Дирксеном основных определений, употребляемых для вывода диференциального исчисления, изложение, которое он дает в связи с критикой некоторых новых сочинений по этой науке, помещенной в Jahrb. f . wissensch. Kritik, 1827, Nr. 153 и сл. Там на стр. 1251 дается даже такая дефиниция: «Непрерывная величина, континуум, есть всякая величина, которая мыслится нами находящейся в таком состоянии становления, при котором последнее совершается не скачкообразно , а путем непрерываемого движения вперед ». Но ведь это тавтология, повторение того, что есть и самое definitum .

В немецком тексте вместо (х + dx) n стоит х + d , а вместо (х + i) n напечатано х + i . Явная опечатка.

Лишь формализмом той всеобщности , на которую необходимо притязает анализ, объясняется то, что вместо того, чтобы для разложения степени в ряд брать двучлен (a + b) n , берут многочлен (a + b + c + d…) n , как это делается также и во многих других случаях; эту форму следует считать, так сказать, кокетничанием видимостью всеобщности; двучленом исчерпывается суть дела ; посредством его разложения в ряд мы находим закон , а истинной всеобщностью и является как раз закон , а не то внешнее, лишь пустое повторение закона, которое это a + b + c + d… единственно только и порождает.

Проверка с помощью числа девять — громоздки искусственный прием, в настоящее время вышедший из употребления, ввиду своей непрактичности.

Т. е. «ведь эти члены не будут иметь никакого зна¬чения» (или: «никакого веса», «никакой силы»).

См. стр. 282–283.

Под «Entwicklungspotenz» Гегель, как видно из этого места, а также из первого абзаца следующего примечания («Еще другие формы, находящиеся в связи с качественной определенностью величины», — стр. 350), понимает то же самое, что ́в других местах он обозначает терминами: «Entwicklungsglied» (член ряда, получающегося при разложении двучлена (x + dx) n по формуле Ньютона), «Entwicklungsfunktion» (функция, получающаяся в результате разложения в ряд, — «функция развертывания», как иногда приходится переводить это выражение: см. напр. стр. 340), «die Funktion der Potenzierung» (функция возвышения в степень), «abgeleitete Funktion» (производная функция, — обычный в математике термин для обозначения того, о чем здесь идет речь у Гегеля). Употребляя для обозначения производной функции несколько странное выражение «Entwicklungspotenz», Гегель, повидимому, хочет подчеркнуть существенное значение того обстоятельства, что дело идет тут именно о степенных функциях, о разложении по степеням ,о том, что интересующая нас переменная величина имеет степень выше первой (см. выше, стр, 320). Поэтому как первоначальную, так и производную функцию Гегель называет «степенными функциями» (Potenzenfunktionen).

В связи с этим нельзя не привести отзыв Энгельса. В письме Марксу от 18 августа 1881 г. Энгельс, говоря о математических рукописях Маркса, замечает по поводу математических примечаний Гегеля: «Старик Гегель… вполне правильно угадал, говоря, что диференцирование в виде основного условия требует, чтобы обе переменных имели различные степени и чтобы по меньшей мере одна из них была во второй или 1/ 2-й степени. Теперь мы уже знаем почему». ( Маркс и Энгельс , Соч., т. XXIV,стр. 531–532).

В вышеприведенной критике (Jahrb. fur wissensch. Krit., Bd. II, 1827, Nr. 155, 6 и сл.) помещены интересные высказывания основательного ученого специалиста г. Шпера, приведенные из его «Principien des Fluentenkalkuls», Braunschweig, 1826, касающиеся именно одного из обстоятельств, существенно способствующих внесению в диференциальное исчисление темноты и ненаучности, и согласующиеся со сказанным нами относительно того, как обстоит вообще дело с теорией этого исчисления. «Чисто арифметических исследований , — говорится там, — которые, правда, из всех подобных больше всего имеют отношение к диференциальному исчислению, не отделили от собственно диференциального исчисления, и даже принимали, как например, Лагранж , эти исследования за самую суть , между тем как на последнюю смотрели лишь как на их приложения . Эти арифметические исследования обнимают собою правила диференцирования, вывод теоремы Тейлора и т. д. и даже различные методы интегрирования. Дело же обстоит как раз наоборот : эти приложения суть именно то, что составляет предмет собственно диференциального исчисления, все же те арифметические рассуждения (Entwicklungen) и действия оно предполагает известными из анализа». — Мы показали, как у Лагранжа отделение так называемого приложения от приема общей части, исходящего из рядов, служит именно к тому, чтобы сделать явственным своеобразное дело диференциального исчисления, взятого само по себе. Но ввиду интересного усмотрения автора, что именно так называемые приложения и составляют предмет собственно диференциального исчисления, нужно удивляться, каким образом он впадает в (приведенную там же) формальную метафизику непрерывной величины, становления, течения и т. д., и еще хочет даже умножить этот баласт; эти определения формальны потому, что они суть лишь общие категории, не указывающие именно специфической стороны дела , которую следовало познать и абстрагировать из конкретных учений, из приложений.