Enrique Rodriguez - Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр.

Требование к рациональности игроков довольно глубокое. Оно предполагает идеальную ситуацию, так как никто не в состоянии держать в уме все возможные ходы и каждый раз принимать нужное решение, чтобы выиграть любой ценой. Игры с простой структурой, такие как «ним», позволяют дойти до такого уровня без особого труда, поскольку в них деревья принятия решений имеют мало ветвей, и если оба игрока абсолютно рациональны в нужном нам смысле, то либо они придут к ничьей, либо выиграет тот, кто сделал первый ход. Другие игры, например го или шахматы, тоже обладают этими характеристиками, но уровень их сложности гораздо выше, и не допустить погрешностей фактически невозможно.

Обобщая, можно сказать, что игра — это процесс, в котором участвуют два или больше игроков, действующих по строго определенным правилам. Участники могут принимать решения, формирующие особую стратегию, которая может повлиять на ход игры. Цель игры — получить некую выгоду, поэтому одним из ключевых ее понятий является платеж — более общее понятие по сравнению с закладом. Платеж может существовать в виде приза вне самой игры, который делится между несколькими игроками, или же представлять собой штраф. Например, в соревновании двух игроков один выигрывает (получает положительный платеж), а второй проигрывает (получает отрицательный платеж).

Опираясь на понятие платежа, можно провести первую классификацию игр и разделить их на две большие группы: игры с нулевой и ненулевой суммой. В игре первого типа игроки борются за один приз или платеж, а сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей. Игры, в которых можно одновременно выбирать несколько призов, называются играми с ненулевой суммой.

Спектр игр с нулевой суммой очень широк. Именно к этой категории относятся такие игры, как шашки или шахматы: когда один игрок получает очко, другой его теряет. Можно сказать, что один получает положительное очко, а второй — отрицательное. Такой сценарий фон Нейман назвал игрой с нулевой суммой для двух игроков. Эта схема включает в себя большое количество соревновательных игр. В них игрок получает все или ничего, борьба идет до конца, то есть игра заканчивается, когда один игрок побеждает, а другой проигрывает. Другими словами, игроки не могут сотрудничать друг с другом.

Для анализа игр очень полезным инструментом оказывается так называемая платежная матрица (Pay-off Matrix). Она представляет собой двойную таблицу, где слева записываются возможные стратегии игрока А, а вверху — игрока В. Под стратегиями понимаются возможности, появляющиеся в ходе игры. В каждой ячейке таблицы указаны выигрыши или проигрыши каждого игрока, полученные в результате выбранной стратегии. Два числа, разделенные запятой или косой чертой, обозначают выигрыши и проигрыши первого и второго игрока соответственно.

Эта платежная матрица говорит нам, что если игрок А выберет стратегию 2, а игрок В — стратегию 1, то в результате выигрыш первого составит 1, а проигрыш второго — 6. Если же игрок А выберет стратегию 1, а В — 2, то проигрыш первого составит 3, а выигрыш второго — 5. Ниже приведен еще один, более простой способ изображения платежной матрицы с такой же расшифровкой.

При игре с нулевой суммой достаточно вставить одно число в каждую ячейку, так как выигрыш одного игрока будет равен потере другого.

Джон фон Нейман за чаепитием с выпускниками в Институте перспективных исследований Принстона (IAS) в ноябре 1947 года.

Бюст фон Неймана в Будапеште.

В 1944 году Оскар Моргенштерн (на фото) и Джон фон Нейман выпустили совместную работу Theory of Games and Economic Behavior («Теория игр и экономическое поведение·).

Эта матрица показывает, что если игрок А выберет первую стратегию, а игрок В — вторую, то первый потеряет 3, а второй выиграет 3, и так далее для остальных ячеек.

Этот способ представления игры для двух человек с нулевой суммой в виде двойной таблицы фон Нейман назвал сведением к нормальной форме игры.

Разумеется, таблицы, приведенные выше, могут относиться только к очень простым играм, но это не означает, что их нельзя применить и к таким сложным, как шахматы, хотя в этом случае таблица была бы огромной. Но важны не размеры таблицы, а то, что игры такого типа можно привести к нормальной форме.

Предшественником фон Неймана в моделировании игр был французский математик Эмиль Борель (1871-1956), опубликовавший с 1921 по 1927 год серию работ по теории игр, целью которых было установить выигрышные стратегии вне зависимости от фактора удачи или психологического состояния игроков в момент принятия решений. Несмотря на то что их работы в чем-то схожи, фон Нейман всегда утверждал, что проводил свои исследования совершенно независимо от Бореля. Можно с точностью сказать, что математические результаты фон Неймана имеют более общий характер и отвечают на такие ключевые вопросы, которые никогда даже не поднимались в работах Бореля. Тем не менее некоторые ученые отстаивают важность его вклада и, говоря об этой схеме, называют ее теорией Бореля — Неймана.

Для того чтобы установить выигрышную стратегию в игре, игроки должны отвечать двум требованиям.

1. Они оба должны быть рациональными.

2. Они оба должны выбирать свои стратегии, ориентируясь исключительно на личную выгоду.

Теперь представим, что игроки А и В участвуют в игре со следующей платежной матрицей.

Она содержит три возможных выбора для каждого игрока. Предположим, что числа обозначают выигрыши или проигрыши в евро. Следовательно, речь идет об игре с нулевой суммой в ее нормальной форме. Проанализируем возможные стратегии игроков. Допустим, В выбирает первую стратегию. В таком случае лучшим вариантом для А будет третья стратегия: с ней он заработает 3 евро, тогда как с первой потеряет 5, а со второй выиграет всего 1. Если же В выберет вторую стратегию, то А тоже будет лучше следовать третьему варианту, так как он позволяет заработать больше всего. Наконец, если В выберет третью стратегию, то А проиграет в любом случае, но его проигрыш составит только 1 евро. Следовательно, для А лучшей стратегией, безусловно, будет третья, вне зависимости от выбора В.