Enrique Rodriguez - Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр.

Таким образом, это пример множества, не принадлежащего самому себе. Теперь рассмотрим множество T, состоящее из всех множеств, которые содержат более трех членов. Если мы возьмем множество р, образованное парой одинаковых элементов, то получим, что

р┐ϵ Т.

У множества T, разумеется, больше трех элементов — их бесконечное количество, поэтому

T┐ϵ T.

Следовательно, это пример множества, принадлежащего самому себе.

Тогда Рассел вводит следующее множество R:

«R состоит из множеств, которые не являются элементами самих себя».

Исходя из предыдущих примеров, мы имеем:

M┐ϵ R и T┐ϵ R.

В этом случае вопрос Рассела звучит так:

R┐ϵ R?

Если ответ да, то R не может быть элементом R, так как содержит само себя и, следовательно, не принадлежит само себе. Если же ответ нет, то множество R не принадлежит само себе. Таким образом, в любом случае мы получаем элемент, который одновременно и принадлежит, и не принадлежит некоему множеству, что является парадоксом, или, выражаясь языком логики, противоречием. Проблема, лежащая в его основе, заключалась в том, что в рамках теории Кантора ничто не запрещало образовывать такие множества, как множества Рассела. Следовательно, надо было создать такую аксиоматику, которая не оставила бы места множествам такого типа.

Немецкий логик и математик Эрнст Цермело (1871-1953) сформулировал семь аксиом, с помощью которых не только хотел придать логическую основательность теории множеств, но и избежать таких спорных ситуаций, как в парадоксе Рассела. Для этого Цермело дал определение основным понятиям и их отношениям. За аксиому принималось существование самого множества, пустого множества, объединения и пересечения множеств, а также части множества. Таким образом гарантировалось точное существование множеств, на которых можно было основываться и которые позволяли доказать фундаментальные для анализа теоремы. В то же время из игры исключались ненадежные множества, которые могли привести к парадоксам.

Бертран Рассел, один из основателей аналитической философии. Портрет маслом кисти Роджера Фрая, 1923 год.

В Геттингенском университете фон Нейман (фотография 1940-х годов) познакомился с Давидом Гильбертом, чьи труды оказали на него большое влияние.

Медная гравюра, на которой изображено здание Гёттингенского университета и библиотеки. Около 1815 года.

Позже теория множеств Цермело была дополнена и расширена Абрахамом Галеви Френкелем (1891-1965). Так появилась система аксиом, ставшая известной как аксиоматика Цермело — Френкеля. Пользуясь сравнением Анри Пуанкаре (1854-1912), теперь овцы были окружены забором, который защищал их от волков, оставшихся снаружи, но при этом было неизвестно, не спрятался ли какой-нибудь волк внутри. Другими словами, система Цермело — Френкеля позволяла создавать все необходимые для математики множества, но не исключала вероятности существования множеств, принадлежащих самим себе, — затаившихся внутри ограды волков.

Существует такое бесконечное множество А, которое не является слишком большим.

Джон фон Нейман

Фон Нейман предложил для решения этой проблемы два способа, которые дополняли друг друга: аксиому регулярности и понятие класса. Обе эти модели он изложил в 1928 году в своей докторской диссертации Die Automatisierung der Mengenlehere {«Аксиоматизация теории множеств»), которую защитил в Будапештском университете.

При помощи аксиомы регулярности и следуя аксиомам Цермело фон Нейман строил множества снизу вверх, так, что если одно множество принадлежало другому, то оно обязательно было первым в последовательности. При этом исключалась вероятность того, что множество принадлежит само себе. Важно подчеркнуть, что метод, использованный фон Нейманом для демонстрации этого результата, стал фундаментальным для многих доказательств теории множеств и используется по сей день.

Другой его метод, связанный с понятием класса, состоял в использовании функций для определения множеств.

Функция принадлежности, применяемая для множества, принимает только два значения — 0 и 1 — исходя из заданного критерия. Его устанавливают так, что все элементы, принимающие значение 1, — это именно те, что составляют множество, которое мы хотим определить. Рассмотрим множество всех четных чисел. С помощью функции с его можно определить следующим образом: с (4) = 1; с (7) = 0; с (31) = 0; с (220) = 1. То есть функция с равна 1, когда применяется к четному числу, и 0 — когда к нечетному (см. рисунок). Таким образом, множество всех четных чисел — это множество, образованное всеми числами, для которых функция принадлежности принимает значение 1. Следовательно, множества можно определять с помощью функций.

Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами — это особый вид соотношений между элементами первого и второго множеств. Например, если первое множество состоит из рубашек, а второе — из брюк, мы можем установить между ними следующее соответствие: каждой рубашке первого множества соответствует пара брюк такого же размера из второго. Тогда мы скажем, что брюки — отображение определенной рубашки. Может случиться, что у одной рубашки будет размер XXL, а среди брюк не будет ни одной пары этого размера; тогда мы скажем, что у этой рубашки нет отображения. Или может быть, что одной рубашке соответствуют несколько пар брюк того же размера. В этом случае мы скажем, что у рубашки несколько отображений. Когда каждому элементу соответствует только одно отображение, мы говорим о взаимно однозначном отображении, или о биективной функции. Например, биективной будет функция, переводящая каждое число множества целых чисел в то же число, умноженное на два. Назовем эту функцию ƒ. Мы получим, что ƒ(2) = 4; ƒ(5) = 10; ƒ(14) = 28... Если вместо того чтобы записывать через функцию значения, которые принимает каждый элемент, мы запишем их в скобках, то получим тот же результат:

(2, 4) (5, 10) (14, 28).

Разница состоит только в том, что теперь функция определена через множество, элементы которого представляют собой пары. Итак, функция может быть представлена как множество парных элементов, а множество может быть выражено с помощью функции принадлежности. Идея о том, что множество основано на понятии принадлежности, относится к аксиоматике Цермело — Френкеля. Фон Нейман же (ему было всего 22 года, когда он разработал свою аксиоматику теории множеств) взял в качестве ключевого понятия функцию. Это формальное отличие имеет важное следствие: количество аксиом Цермело — Френкеля не определено изначально, теоретически оно может быть бесконечным, в то время как, следуя подходу фон Неймана, требуется всего 18 аксиом, к тому же первую можно включить во вторую как частный случай.