Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Гильберт был чемпионом по аксиоматике, сторонником аксиоматического метода не только в математике, но и в науке в целом. Под его покровительством этот метод распространился от корней до кроны математического дерева. Но, оставив в стороне брешь, обнаруженную Гёделем, следует сказать, что аксиоматизм Гильберта не сочетается с рутиной математика — с тем, с чем он сталкивается постоянно.

Если мы посмотрим на математика за работой, поскольку статьи — всего лишь продукты его деятельности, то удивимся, сколько неформальных рассуждений он выдает. Что доказывают ограничительные теоремы Гёделя или Тарского для математика в действии? Что математика — слишком крупный кролик для того, чтобы вытащить его из столь маленького цилиндра аксиоматической системы, каким бы ловким ни был этот фокусник Гильберт. Более того, аксиоматика возможна, только если ей предшествовала фаза работы с моделью, то есть аксиомы чисел могут быть сформулированы, если уже есть некоторое представление о том объекте, с которым мы имеем дело. Генетический метод предшествует аксиоматическому, и замена первого вторым предполагает похищение честно заработанного (аксиоматика немедленно присваивает себе все построенное).

Могила Гильберта в Гёттингене. У основания памятника высечена знаменитая фраза «Мы должны знать. Мы будем знать».

Альфред Тарский и Курт Гёдель в Вене в 1935 году. Своими ограничительными теоремами оба поспособствовали разрушению возведенной Г ильбертом конструкции математики.

Давид Гильберт, 1930-е годы.

После Второй мировой войны ультраформалистская концепция математики сформировалась в виде бурбакизма. Группа молодых французских математиков (Андре Вейль, Анри Картан, Жан Дьёдонне и другие) собралась в 1935 году и решила назвать себя именем потерпевшего поражение французского генерала Бурбаки, поскольку еще в университете один шутник-студент, учившийся на курс старше, подбросил им неверные теоремы, носящие имена известных генералов. Коллектив Бурбаки подписывался под многочисленными докладами и монографиями и считал себя настоящим интеллектуальным наследником Гильберта. Под лозунгом «Долой Евклида!» Бурбаки представлял математику в абстрактном и чистом виде, который выкристаллизовался в виде высокоаксиоматичной работы «Элементы математики». Эта традиция представлять математику как подарок небес, лишенный любой земной неточности, в течение 1970-1980-х годов оказывала влияние на преподавание абстрактной теории множеств в средних школах Европы.

Собрание Бурбаки, 1938 год. Слева направо: С. Вейль, Ш. Пизо, А. Вейль, Ж. Дьёдонне, К. Шаботи, Ш. Эресманн и Ж. Дельсарт.

Даже логические аксиомы и аксиомы теории множеств были получены как результат анализа неформальных доказательств. Кроме того, когда обычный математик рассуждает о континууме действительных чисел, он никогда не думает о нестандартных (счетных) моделях континуума (они существуют, если работать аксиоматически в рамках ZFC, и для заядлого формалиста они столь же справедливы, как и стандартная модель). С точки зрения специалиста в области анализа или топологии, для которого континуум — это операционная реальность, существование счетных моделей означает просто бедность формального языка как средства подражания неформальным рассуждениям. Несмотря на яркость метафоры, введенной Гильбертом, математика — это не здание или храм, она больше похожа на город с его проспектами, кварталами, новостройками и опустевшими домами, огороженными под снос.

С приходом Гитлера к власти в 1933 году Людвиг Бибербах (присоединившийся к нацистской партии) встал во главе математики в Германии, продвигая «арийскую, или немецкую», математику (Deutsche Mathematik). Теория относительности была отвергнута как еврейское мошенничество. Та же участь постигла теорию множеств — вероятно, из-за использования в ней еврейского алфавита для обозначения трансфинитных кардинальных чисел (хотя также сыграло роль то, что Бибербах был сторонником Брауэра в Берлине). Еврейским преподавателям было запрещено вести занятия, и одного за другим их сняли с должностей.

Математический институт в Гёттингене быстро сдал позиции, и его международный престиж был утрачен, к большому огорчению Гильберта. Герман Вейль — любимый ученик, который сменил его на кафедре, — был вынужден эмигрировать, поскольку его жена была еврейкой по происхождению, и в итоге он присоединился к Альберту Эйнштейну и Курту Гёделю в Институте перспективных исследований в Принстоне. Рихард Курант был отстранен от работы и обосновался в Нью-Йоркском университете. Бернайс вернулся в Швейцарию.

Гильберт был обескуражен новой политической ситуацией в Германии. Как-то он спросил у Блюменталя, своего первого аспиранта, какой курс тот читает, и услышал в ответ, что ему больше не разрешено вести занятия. Старик был ужасно возмущен. Когда на банкете его усадили рядом с новым министром образования и тот спросил: «Как в Гёттингене с математикой теперь, когда его очистили от еврейского влияния?», Гильберт парировал: «Математика в Гёттингене? Но ведь ее уже нет!»

С началом Второй мировой войны все стало еще более мрачным. Блюменталь эмигрировал в Нидерланды, однако немцы захватили эту страну в 1940-м и его арестовали. Он умер в том же году в печально известном лагере Терезиенштадт, что на территории современной Чехии. Феликс Хаусдорф, который написал первый учебник по теории множеств, покончил жизнь самоубийством, когда узнал, что ему и его семье предстоит депортация в концентрационный лагерь. Другие, например Банах, выжили, но серьезно пострадали физически, работая «кормителями вшей» в возглавляемом немцами бактериологическом институте, где исследовался тиф.

Давид Гильберт умер в Гёттингене 14 февраля 1943 года под рев орудий. На похоронах ученого присутствовали менее дюжины человек. Но сегодня живы слова, ставшие его эпитафией: Wir müssen wissen. Wir werden wissen — «Мы должны знать. Мы будем знать».

Almira, J.M. y Sabina dk Lis, J.C., Hilbert. Matemdtico fundamental, Madrid, Nivola, 2007.

Bell, E.T., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza, 1996.