Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Есть вопросы, которыми человечество задается с тех самых пор, когда первые мужчины и женщины усаживались у огня и принимались размышлять и изучать то, что их окружало. Существовал ли мир всегда или у него было начало? Он перестанет существовать когда-нибудь? Есть ли предел у неба или оно не имеет преград?

В основе всех этих вопросов лежит одно из самых невероятных и глубоких понятий — бесконечность.

Почти все области математики являются результатом долгих исторических процессов, десятки или сотни лет они развивались благодаря множеству ученых, и трудно, если не невозможно, однозначно указать на одного зачинателя. Так, корни геометрии и алгебры уходят в Древний Египет и Месопотамию, а более «молодые» разделы науки, например методы счисления, выведены в конце XVII века одновременно и независимо друг от друга англичанином Исааком Ньютоном и немцем Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем. Правда, они выразили идеи, которые их предшественники изучали веками (мы подробнее рассмотрим это в главе 3).

Однако математическая теория бесконечности (и теория множеств — как мы увидим, в сущности это одно и то же) появилась благодаря таланту и воображению единственного человека, создавшего ее фактически из ничего, — математика русско-немецкого происхождения Георга Кантора.

Можно даже назвать конкретную дату, когда произошел творческий прорыв, приведший Кантора к этой теории. Он писал 5 ноября 1882 года своему другу и коллеге Рихарду Дедекинду:

«[...] после наших недавних встреч в Гарцбурге и Эйзенахе [немецких городах, где они виделись в сентябре 1882 года] по воле всемогущего Бога меня озарили самые удивительные, самые неожиданные идеи о теории ансамблей и теории чисел [он имеет в виду, как мы увидим в главе 4, бесконечные числа]. Скажу больше, я нашел то, что бродило во мне в течение долгих лет».

Как же Кантор пришел к этим «удивительным открытиям»? Что послужило началом «брожения»? Чтобы понять это, мы шаг за шагом проследим путь его идей. Начнем, как и полагается, сначала.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 3 марта 1845 года в Санкт-Петербурге. Его отец, Георг Вальдемар Кантор, успешный торговец, датчанин по происхождению, был очень религиозен и ценил культуру и искусства. Мать, Мария Анна Бойм, дочь русских скрипачей, сама виртуозно играла на скрипке. Георг унаследовал ее музыкальный талант и годы спустя, то ли в шутку, то ли всерьез, сокрушался, что отец не позволил ему стать профессиональным скрипачом.

Музыка и искусство всегда были важны для Кантора. Он считал, что математика и искусство не так уж далеки друг друга и что математик должен обладать и творческой жилкой (это мнение разделяли многие его современники, а также автор этих строк). Так, в 1833 году он написал статью, в которой упоминал об «удивительных открытиях» (позже он рассказал о них в письме Дедекинду); среди прочего в ней были такие слова: «Вся общность математики заключается в ее свободе» (курсив Кантора). В ней же он писал:

«В силу этого исключительного положения, отличающего ее от всех других наук и объясняющего сравнительную легкость и отсутствие принуждения в занятии ею, она заслуживает совершенно особенным образом имени свободной математики — название, которое, будь мне предоставлен выбор, я дал бы охотнее, чем ставшее обычным наименование «чистая» математика».

Таким образом, математик может отпустить свое воображение в «свободный полет» и оперировать понятиями как ему вздумается — при условии, что они не ведут к логическим противоречиям. И если противоречий нет, то, как утверждал Кантор, можно быть уверенными, что эти объекты действительно существуют. Выходит, математик, способный выводить новые понятия, одновременно и ученый и художник. Эти идеи не просто отражали мысль Кантора, они, особенно в этой знаковой статье, играли стратегическую роль, о чем мы поговорим в следующих главах.

Но вернемся к первым годам жизни Кантора. У его отца было слабое здоровье, и в 1856 году врачи посоветовали ему уехать от суровых петербургских зим в зону более благоприятного климата. Тогда Кантор-отец завершил все свои дела в России, и семья перебралась в Германию. Сначала они поселились в Висбадене, где Георг посещал гимназию, но вскоре переехали во Франкфурт. Ученый всегда с ностальгией вспоминал детство, проведенное в Санкт-Петербурге, и хотя всю оставшуюся жизнь прожил в Германии, никогда не ощущал себя там как дома. Насколько известно (и это очень похоже на его романтическую и даже экзальтированную натуру), после 1856 года он больше никогда не писал по-русски. По дневникам времен гимназии видна его все возрастающая склонность к математике. Хотя отец настаивал на том, чтобы Георг изучал инженерное дело, в 1863 году он поступил в Берлинский университет, желая посвятить себя своему настоящему призванию, и даже страсти, — математике. В то время это был один из главных мировых математических научных центров. Здесь преподавали знаменитые математики Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер, оба они стали учителями Кантора. Также его наставником был Леопольд Кронекер, со временем тот оказался одним из самых яростных противников теории бесконечности.

Кантор окончил Берлинский университет в 1867 году и спустя два года получил место профессора в Галльском университете. Забегая вперед, отметим, что именно в Галле ученый развил свою теорию математической бесконечности, именно там он сделал открытия, благодаря которым стал одной из важнейших фигур в математике. Его идеи не всегда встречали понимание и, напротив, часто вызывали отторжение. Мы уже упомянули о Кронекере, который сделал все возможное, чтобы воспрепятствовать распространению идей Кантора. Еще один пример относится к 1874 году, когда Кантор захотел опубликовать свои первые открытия в исследовании бесконечности. Черновик его статьи увидел Вейерштрасс и посоветовал Кантору не упоминать о самых радикальных выводах разбираемых теорем. Более того, он предложил вообще не говорить о бесконечности. Почему у Кантора было так много противников? Какие выводы следовали из статьи 1874 года и в чем заключалась их революционность? Чтобы ответить на эти вопросы, мы должны сначала ознакомиться с историей бесконечности.

Что такое бесконечность? Точнее, что мы имеем в виду, когда утверждаем, что совокупность объектов бесконечна? Прежде всего уточним, что будем использовать слово «объект» в самом широком значении, включающем в себя и абстрактные, и воображаемые объекты. Например, эта группа может состоять из всех дней декабря 3000 года.