Ричард Манкевич - История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

/1 19

2 38

/4 76

Затем, поскольку 1+4 = 5, сложение 19 и 76 дает 95, что соответствует 19 х 5. Деление происходит точно так же, но теперь есть возможность дробного решения. Здесь используются дробные единицы. Египетский способ обозначать долю единицы заключался в рисовании черточки над числом: таким образом, 1/5 писалось как 5. Символа для обозначения нашего числа 2/5 или любой другой дроби, за исключением 2/3, не существовало. Папирус Ринда начинается с таблицы дробей вида 2/n, где n — нечетное число, разложенное на доли единицы. Так, 2/5 равно 1/3 плюс 1/15, и во всех случаях, когда задача имела решением число, которое мы записываем как 2/5, египетские писцы записали бы его как 3¯ 15¯. Все еще трудно понять, как эта схема функционировала на практике, хотя она явно срабатывала, и мы ждем дальнейших открытий, позволяющих разъяснить ее происхождение.

Одна из причин использования такой системы заключается в том, что при числовых расчетах, связанных с разделением наследства или распределением благ, использовались дробные единицы, поскольку они точнее, чем самое близкое приближение. У египтян не было никакой валюты, так что они совершали сделки, используя в качестве эквивалента другие товары, чаще всего хлеб и пиво. Это отлично видно в задаче из папируса Ринда о том, как разделить девять хлебов на десять едоков. Сейчас мы вычислили бы, что каждый получит по 9/10 хлеба, и распределили бы хлебы, отрезав от каждого по одной десятой доле, чтобы девять человек получили бы по одному неполному хлебу — по 9/10 буханки, а десятый — девять отрезанных ломтей по 1/10. Решение, приведенное в папирусе: 9/10 = 2/3 + 1/5 + 1/30. Такое деление потребует больше надрезов, зато каждый человек получит не просто равное количество хлеба, но и одинаковые куски.

Меры объема имели свои собственные обозначения, составленные из частей иероглифа, изображавшего око Гора. Здесь заметна двойная функция жречества — административная и религиозная. Гор — бог-сокол, и его глаз отчасти человеческий, отчасти соколиный. Каждый элемент иероглифа представлял дробь от 1/2 до 1/64, а сочетания этих элементов могли отобразить любое число долей 1/64. Но око Гора также имело мистическое значение. Этот бог, единственный сын Изиды и Осириса, поклялся мстить за смерть своего отца, убитого собственным братом Сетом. Во время одного из бесчисленных сражений Сет вырвал у Гора око, разорвал его на шесть частей и разбросал по всему Египту. Гор в ответ оскопил Сета. Согласно легенде, боги, вмешавшись, провозгласили Гора царем Египта, богом-опекуном фараонов. Кроме того, они велели Тоту, богу образования и магии, собрать око Гора. Таким образом глаз стал символом цельности, ясновидения, изобилия и плодородия. Писцы, чьим покровителем был Тот, использовали его как талисман, символизировавший дробные меры. Существует рассказ о том, как ученик писца однажды заметил своему учителю: все доли ока Гора составляют в целом не единицу, а скорее 63/64. Учитель ответил, что Тот вознаграждает недостающей 1/64 того писца, который добивался покровительства бога и принял его.

Наши знания о египетской математике ограничены ввиду недостаточного числа артефактов. В результате она кажется шагом назад по сравнению с уровнем, которого достигли вавилоняне. Но скорее всего, это неправильно, особенно учитывая точность, с которой египтяне строили пирамиды и управляли такой обширной империей. До нас дошли лишь обрывки свидетельств, позволяющие предположить, что они добились важных результатов. Например, вполне вероятно, что они могли вычислить объем усеченной пирамиды. Однако по-прежнему неясно, что это за результат — отдельный, вдохновленный интересом к пирамидам, или же часть более передовой, но, к сожалению, не дошедшей до нас совокупности знаний. Древние греки открыто признавали, что их математика, в особенности геометрия, уходит корнями в египетские знания. Но сейчас нас больше всего поражает не сходство между египетской и греческой математикой, а огромные различия в способе выражения и глубине их знаний. Похоже, «трудные тайны» Ахмеса и сегодня остаются неразгаданными.

109. Этот царь [Сесострис [3] Имеется в виду фараон Сенусерт (Сесострис) III (1878–1842 до н. э.). ], как передавали жрецы, также разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доходы, повелев взимать ежегодно поземельную подать. Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу. Ведь «полос» и «гномон», так же как и деление дня на 12 частей, эллины заимствовали от вавилонян.

В самом начале математика развивалась, обслуживая нужды торговли и сельского хозяйства, но, помимо того, она также была связана с выполнением религиозных обрядов и наблюдением за движением небесных светил. Созданием календарей занимались астрономы-священники — картография небес требовала разработки специальных математических знаний. Поскольку в древности космология была геоцентрической, термин «планета» относится к Солнцу, Луне и пяти небесным телам, видимым невооруженным взглядом, — Уран, Нептун и Плутон были обнаружены относительно недавно. Различные цивилизации, существовавшие в самых разных уголках Земли, фиксировали движения небесных тел и создавали календари, и все они должны были найти способ сопоставить два самых важных временных цикла — лунный месяц и солнечный год.

Классический период цивилизации майя, существовавшей в Центральной Америке и формировавшейся до десятого века до нашей эры, относится к 300–900 годам нашей эры. Испанское нашествие 1519 года пережило очень небольшое число документов (самый значительный из них — рукопись с астрономическими таблицами, известная как Дрезденский кодекс), но, к счастью, от майя также остались высеченные на камне барельефы. Каждые двадцать лет майя устанавливали каменные стелы, или столбы, на которых отмечались дата строительства, основные события предшествующих двадцати лет, а также имена знатных людей и служителей храмов. Иероглифы, при помощи которых делались надписи, были стилизованными изображениями богов майя. Но для обозначения чисел они часто использовали нотацию, ныне известную как «точка и черточка». В этой лаконичной системе счисления с соблюдением знакоместа точка изображала единицу, горизонтальная черта изображала «пять», а ноль отображался символом, похожим на раковину. Эта система счисления, похоже, использовалась приблизительно с V века до нашей эры и, по существу, была двадцатеричной, то есть с основой 20, кроме аномалии в третьем разряде. В настоящей двадцатеричной системе числа выстраивались бы в последовательности 1, 20, 202, 203 и так далее, но в системе майя используется последовательность 1, 20,18 х 20,18 х 202, и так далее. Это усложняет вычисления, но на основании того, что 18 х 20 = 360, мы можем понять то значение, которое майя придавали своему календарю.