Jose Santonja - Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.

Гравюра Теобальда Фрайхера фон Ёра(1807- 1885), на которой изображен Лейбниц во время открытия Берлинской академии.

Гравюра, на которой изображено уничтожение Архимедом римских кораблей с помощью солнечных лучей.

Портрет Лейбница около 1700 года, работа Христофа Бернхарда Франке.

"Абсолютное доказательство не слишком интересно после того, как мы увидели, что может быть найдено идеальное доказательство. Признаю, что лучше бы оно было представлено в четком, искусном и элегантном виде, как во всех работах Архимеда. Но первое и самое главное — метод открытия сам по себе".

Но когда открытия излагались в эмпирической форме, без древнегреческой строгости, некоторые результаты не принимались другими учеными или вступали в противоречие с их данными. Еще одним важным аспектом было то, что проблемы нельзя ставить независимо друг от друга. Декарт утверждал, что схожие задачи должны решаться общим методом.

Основная идея аналитической геометрии основывается на декартовых координатах.

Любая точка на плоскости обозначается двумя числами, которые отражают ее положение.

Декартовы оси состоят из двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в одной точке — начале координат. Если нанести деления на прямые, каждой точке будут соответствовать два числовых значения, отмеряемых на обеих осях. Первое отмечается на горизонтальной оси, называемой осью абсцисс, а второе — на вертикальной оси, называемой осью ординат. Точка записывается как Р (х, у), где х — абсцисса, а у — ордината.

РИС. 1

Две прямые при пересечении делят плоскость на четыре области, которые получают название квадрантов и нумеруются от I до IV, начиная с квадранта, в котором обе координаты положительные, и следуя против часовой стрелки (рисунок 1). Однако изначально понятия осей не существовало. Ферма определял координаты следующим образом: положение точки Р задано двумя длинами — одной, отмеряемой по горизонтали от точки О до точки I, и другой, отмеряемой наклонно от I до Р (рисунок 2). Эти измерения — наши сегодняшние х и у. Как можно увидеть, на рисунке не определены оси и нет отрицательных координат.

РИС. 2

Значительный скачок для перехода от геометрии к алгебре произошел с созданием аналитической геометрии, которая позволяет заменять кривые уравнениями, чтобы работать напрямую с алгебраическим решением. Кривая с точки зрения аналитической геометрии — это множество точек, которое удовлетворяет одному условию и связано с алгебраическим уравнением.

Как в то время нередко случалось, аналитическая геометрия была открыта независимо двумя учеными, результаты которых не были полностью одинаковыми. Создателями ее были французы Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596— 1650).

Ферма некоторые даже называли принцем любителей, поскольку на самом деле один из создателей теории чисел был судейским чиновником и занимался математикой в свободное время. Больше всего он известен благодаря знаменитой Великой теореме Ферма, которую смогли доказать только три века спустя. Также он был одним из создателей теории вероятностей. При жизни Ферма не опубликовал ни одного исследования, поэтому его труды стали известны благодаря письмам и бумагам, которыми он обменивался с друзьями и знакомыми.

Декарт, философ, физик и математик, занимался геометрией, опираясь, как и Ферма, на классиков. В 1637 году он опубликовал свою великую работу "Рассуждение о методе", где излагал свою философию и куда включил три приложения: "Диоптрика", "Метеоры" и "Геометрия".

Таким образом началась одна из самых больших полемик века о том, кто был первым создателем аналитической геометрии. С одной стороны, в работе Ферма "Введение к теории плоских и пространственных мест", написанной в 1629 году, но опубликованной только в 1679 году, ее автор уже высказывает основные идеи аналитической геометрии, которые оказались близки к сегодняшним представлениям о ней. С другой стороны, нидерландский ученый Исаак Бекман (1588-1637), считающийся одним из первых исследователей вакуума, друг и наставник Декарта с 1619 года, утверждал, что в то время у его ученика уже было понимание метода решения всех задач, которые могут стоять перед геометрией.

Похоже, Ферма был первым, кто разработал аналитическую геометрию, но Декарт первым опубликовал работу о ней. Подобные ситуации случались в то время очень часто. Но так как эти ученые обменивались информацией в эпистолярной форме через Мерсенна, возникли обвинения в плагиате. Тем не менее кажется очевидным, что они оба пришли к своим выводам независимо друг от друга, поскольку их подходы различаются. Декарт исходит из геометрической кривой и изучает ее уравнение, в то время как Ферма исходит из уравнения и изучает, какая кривая ему соответствует и каковы ее свойства. Это прохождение одного пути с двух противоположных сторон.

Первым, кто попытался продвинуться в методе вычисления площадей и объемов, работая в строгом девнегреческом стиле, был Бонавентура Кавальери (1598-1647), ученик Галилея. В 1635 году он опубликовал свою работу "Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного". Ученый утверждал, что все фигуры образованы из ряда базовых элементов, которые он называет неделимыми. То есть площадь образована неопределенным числом параллельных отрезков (см. рисунок), а объем — параллельными плоскими поверхностями.

Любая поверхность образована неопределенным числом параллельных отрезков.

Неделимые — это минимальные элементы, на которые можно разложить фигуру. В "Шести геометрических этюдах" (1647) Кавальери изложил идею о том, что линия состоит из точек, как бусы из четок; плоскость сделана из линий, как волокна на ткани, а твердое тело образовано плоскими поверхностями, как листы в книге. Благодаря этой идее ему удалось найти квадратуру, то есть площадь, кривых типа xk для значений k, равных 6 и 9. Если использовать современную запись, Кавальери доказал, что: