Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Борель, помимо того что дал определение нормальным числам, доказал: их количество бесконечно, то есть ряд нормальных чисел никогда не заканчивается. Однако в его доказательстве были использованы очень косвенные методы; можно сказать, он также доказал, что этого бесконечного количества чисел не может не существовать. Главное в этой истории то, что Борель, как и никто другой, не был способен в 1909 году привести ни одного примера нормального числа. Некоторые числа (включая приведенные выше) подходили под определение нормальных, но нельзя было утверждать это точно. То есть Борель доказал, что существует бесконечное количество чисел определенного типа, но не смог привести ни одного из них. Допустима ли такая ситуация? Можем ли мы вести разговор о числах, ни имея ни одного их примера? В начале XX века многие математики начали выказывать недоверие доказательствам, включавшим ряды, образованные бесконечным количеством чисел (такими как ряд нормальных чисел). Они сомневались, допустимо ли работать с ними, пользуясь теми же правилами, что и для конечных рядов (то есть не расширяющихся до неопределенности). Это недоверие было подкреплено тем, что в 1902 году британский философ и математик Бертран Рассел нашел логические противоречия, связанные с рассуждениями такого типа.

В начале XX века вопрос о том, как определить справедливость математического рассуждения, был совершенно неясен. Среди математиков бурлили споры и дискуссии. И только почти через четверть века, в 1930 году, ученые пришли к соглашению о четких и конкретных критериях, которым должно соответствовать доказательство, чтобы его приняли как верное. Эти критерии, установленные объективно, состояли в том, чтобы рассуждения были проверены компьютером — беспристрастным судьей, который ограничивается вычислениями, не оперируя лингвистическими конструкциями. Естественно, это современный вариант соглашения, раньше он формулировался по-другому, поскольку в 1930 году еще не было компьютеров.

Но именно в том месте и в то время, когда математики собрались, чтобы прийти к согласию о надежных методах рассуждений, Курт Гёдель поднял руку и попросил слова, чтобы рассказать о своей теореме о неполноте: если даже придерживаться методов, исключающих ошибку, всегда будут существовать истинные гипотезы, которые нельзя доказать, и математические проблемы, которые невозможно решить с помощью самых надежных методов. Мы можем иметь потенциальную способность решать проблемы (без уверенности в том, что решение правильное), но никогда не сможем одновременно иметь уверенность в своих методах и возможность решить все проблемы.

Гёдель представил две теоремы о неполноте, первая из которых также известна как теорема Гёделя, а вторая получила название второй теоремы Гёделя.

Эта книга — об истории открытия Гёделя и его следствиях для философии математики. В главе 1 описаны исторический процесс, приведший к полемике о методах доказательства в математике, и роль, которую сыграла в этой полемике теорема Гёделя. В главе 2 приведены сама теорема и объяснение ее доказательства. Но как на том историческом этапе, когда почти все методы математического доказательства были поставлены под сомнение, Гёделю удалось убедить всех в своей правоте? Ответ на этот вопрос проанализирован в главе 3, в то время как глава 4 посвящена другим работам математика, среди которых — исследования в теории относительности. В последней главе обсуждаются некоторые философские следствия теорем Гёделя, связанные с природой математической истины.

1906Курт Гёдель родился 28 апреля в Брно, в Австро-Венгерской империи (современная Чешская Республика), в семье Рудольфа Гёделя и Марианны Хандшу. У него был только один старший брат, которого, как и отца, звали Рудольфом.

1912Гёдель перенес приступ ревматической лихорадки. Эта болезнь стала катализатором его ипохондрии как доминирующей черты личности.

1923Поступил в Венский университет, чтобы изучать теоретическую физику, однако, благодаря влиянию профессора Филиппа Фуртвенглера, занялся математикой.

1926Приглашен в Венский кружок — группу интеллектуалов, основанную в 1922 году немецким философом Морицем Шликом для обсуждения науки и эпистемологии. Здесь Гёдель познакомился с дебатами вокруг теории доказательства и решил посвятить себя математической логике.

1929Завершил докторскую диссертацию, которую представил в следующем году в Венском университете.

1930С 5 по 7 сентября в Кёнигсберге проходил конгресс, посвященный теории доказательства и связанным с ней темам. На пленарном заседании 7 сентября Гёдель впервые провозгласил свою теорему о неполноте.

1931Опубликована статья ученого «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica у родственных систем», содержащая формулировку и доказательство его теоремы о неполноте.

1933Назначен приват-доцентом Венского университета. Совершил серию поездок в США, где читал различные курсы и лекции.

1938Женился на Адель Поркерт, разведенной танцовщице, на шесть лет старше его.

1939Под давлением нацистов, пришедших к власти в Австрии, бежал с супругой США. В Европу они так больше и не вернулись.

1940Присоединился к Институту перспективных исследований в Принстоне, где началась его дружба с Альбертом Эйнштейном.

1951Прочитал Гиббсовскую лекцию, в которой проанализировал некоторые возможные философские следствия из своей теоремы о неполноте.

1978Курт Гёдель скончался в Принстонской больнице вечером 14 января.

В начале XX столетия математика переживала один из самых глубоких кризисов. Первая треть века была наполнена спорами о том, какие методы рассуждения считать подходящими и нужно ли допускать существование бесконечности. Курту Гёделю было предназначено решительно проявить себя в данной ситуации. Но как назрел этот спор? Почему математики начали сомневаться в своей науке после более чем 2500 лет ее развития?

Все люди, даже самые великие, когда-то были детьми. Это прописная истина, но все же любопытно думать, что был день, когда Моцарт не знал даже названий музыкальных нот, было время, когда Леонардо да Винчи еще не смешивал краски... и период, когда Курт Гёдель не начал изучать логику. Пусть знания будущего ученого тогда были невелики, но стремление к интеллектуальному поиску было присуще ему с самого детства. Гёдель рос любопытным ребенком и задавал много вопросов обо всем, что видел вокруг, поэтому в семье его называли герр Варум, что в переводе с немецкого означает «господин Почему».