Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

1. Два множества равны, если они имеют в точности одни и те же члены.

2. Существует пустое множество.

3. При заданных х и у существует упорядоченная пара (х, у).

4. Объединение множеств — это также множество.

5. Существует по крайней мере одно бесконечное множество.

6. Любое свойство, которое можно выразить на формальном языке теории множеств, может быть использовано для определения множества.

7. При заданном множестве всегда существует множество, образованное всеми его подмножествами.

8. При заданном конечном или бесконечном семействе непустых множеств всегда существует множество, содержащее ровно один член каждого множества этого семейства.

9. Ни одно множество не является членом самого себя.

Ключевая аксиома для избегания парадокса Рассела — шестая, которая уточняет, на каких свойствах могут основываться определения множеств. Эта аксиома в сочетании с девятой позволяет доказать, что парадоксального множества Рассела просто не существует.

Выводы Гёделя были оспорены современными логиками, такими как Соломон Феферман или Пану Раатикайнен, утверждавшими, что аргументы Гёделя основываются на предположениях, справедливость которых можно оспорить (как тот факт, что в каждом человеческом мозге существует модель натуральных чисел).

Дело в том, что сегодня пока еще нет единодушного мнения о том, какая связь существует между теоремами Гёделя и природой математических объектов. В любом случае прошло чуть более 80 лет с момента публикации теорем Гёделя, а это небольшой срок для того, чтобы делать какой-то определенный математический вывод.

Во многих популярных книгах говорится, что теорема Гёделя о неполноте доказывает невозможность найти множество аксиом арифметики, которое позволило бы доказать все истины этой теории; но это утверждение на самом деле некорректно. Как мы уже много раз говорили, это правда, только если ограничиваться только методами доказательства, принятыми программой Гильберта. Однако существуют и другие методы.

Например, вспомним аксиомы Пеано, то есть аксиомы, относящиеся к натуральным числам и включающие в качестве первоначальных составляющих сумму, произведение и функцию последующего элемента.

Аксиома 1: нет ни одного числа с последующим элементом 1.

Аксиома 2: если у двух чисел один и тот же последующий элемент, то они равны.

Аксиома 3: последующий элемент для х — это х + 1.

Аксиома 4: (х + у) + 1 = х + (у + 1).

Аксиома 5: произведение х на 1 равно х.

Аксиома 6: х · (у + 1) = х · у + х.

Аксиома 7: если 1 выполняет некое свойство и можно быть уверенным, что и х выполняет это свойство, а значит, его последующий элемент тоже его выполняет, то при таких условиях можно быть уверенным: любое число выполняет это свойство.

Докажем, что аксиомы Пеано непротиворечивы. Для начала заметим, что все семь аксиом — это истинные высказывания (в мире натуральных чисел). Мы уже сказали, что из истинных предпосылок можно вывести только истинные утверждения, следовательно, из аксиом Пеано нельзя вывести ни одного ложного высказывания. Но если множество аксиом противоречиво, то на его основе доказуемо любое высказывание. Поскольку есть высказывания, которые недоказуемы на основе аксиом Пеано (ложные высказывания недоказуемы), то мы делаем вывод, что аксиомы Пеано непротиворечивы.

Во второй теореме о неполноте говорится, что нельзя доказать непротиворечивость аксиом Пеано... но мы только что его доказали. Как это возможно? Ответ, конечно же, в том, что во второй теореме о неполноте на самом деле говорится: невозможно доказать непротиворечивость аксиом Пеано, пользуясь методами программы Гильберта. Доказательство непротиворечивости, которое мы только что осуществили, следовательно, является корректным рассуждением, но не подчиняется ограничениям этой программы: корректность доказательства нельзя проверить алгоритмически.

Это ведет нас напрямую к следствию из теорем Гёделя: не существует алгоритма, который мог бы во всех случаях проверить истинность или ложность арифметического высказывания (если бы это было так, компьютер мог бы проверить корректность доказательства о непротиворечивости, которое мы вывели выше, что, согласно второй теореме Гёделя, невозможно). Другими словами, никогда нельзя будет запрограммировать компьютер так, чтобы можно было доказать все гипотезы арифметики (речь идет о принципиальном ограничении, которое не сможет преодолеть технический прогресс), компьютеры никогда не превзойдут математиков (хотя, как мы увидим далее, также неясно, всегда ли математики будут способны превосходить компьютеры).

Итак, вторая теорема о неполноте оказывается ложной, если мы применим при доказательстве семантические методы. Но что произойдет с первой теоремой Гёделя? Можно доказать, что если мы допустим семантические методы, то любая арифметическая истина доказуема на основе аксиом Пеано. Под семантическими методами мы понимаем те, что основаны на понятии истины. Логическое правило, которое используется в этих рассуждениях, таково: из Р выводится Q, если во всех мирах (или моделях), где Р истинно, Q также истинно (см. рисунок). Вновь возьмем пример доказательства, который мы рассматривали в главе 2, и зададимся вопросом, справедлив ли вывод:

из равенства (а - b) · а = (а - b) с мы делаем вывод, что а = с,

где Р — это высказывание "(а - b) · а = (а - b) · с", a Q — это "а = с". Вывод несправедлив, поскольку существует модель (пример), в которой Р истинно, a Q ложно. Действительно,

если мы возьмем а = b = 2 и с = 3, то получается, что Р истинно, a Q ложно.

При заданном высказывании существует потенциально бесконечное число миров, где оно может быть истинным. Значит, если на одном шаге семантического доказательства мы говорим, что из Р выводится Q, чтобы узнать, верно ли это, нам придется проверить потенциально бесконечное число случаев, где Р истинно, и убедиться, что во всех также истинно Q. Это предполагает бесконечное число проверок, которое не может быть осуществлено компьютером. Также неясно, может ли оно быть осуществлено человеческим разумом.

Евклидова геометрия, изложенная в работе ученого "Начала" (III век до н. э.), основана на пяти постулатах, или аксиомах, которые могут быть сформулированы следующим образом.

1. Через две точки можно провести единственную прямую.