Герман Ефремов - Макрокинетика сушки

Рис. 1.3 Поток вещества в пространстве.

Поток вещества J , отнесенный к единице поверхности S в этом случае будет пропорционален градиенту концентрации:

Это выражение называется 1-м законом Фика. Здесь D – коэффициент диффузии.

Закон молекулярного переноса массы (вещества) для элементарного объема может быть получен следующим образом. Рассмотрим поток вещества через грани элементарного объема.

Расход вещества, обусловленный диффузией вдоль оси х через левую поверхность dy·dz (Рис. 1.4), с учетом закона Фика, составит.

На расстоянии dx , с учетом изменения концентрации, получим ее значение

.

Тогда расход вещества, обусловленный диффузией вдоль оси х через правую грань dy·dz , составит

Таким образом, за счет изменения концентрации вдоль оси х в элементарный объем поступит количество вещества.

Рис. 1.4 К выводу 2-го закона Фика.

Аналогично определяется изменение количество вещества вдоль остальных осей. Суммарное изменение количество вещества, в пересчете на единицу объема, вдоль всех координат должно быть равно изменению его концентрации во времени:

Выражение в скобках в уравнении (1.19) является оператором Лапласа. С учетом его сокращенного обозначения и образования вещества за счет химической реакции при скорости образования r получим для выражения (1.19):

Уравнение (1.20) является следствием закона сохранения массы и 1-го закона Фика и называется 2-м законом Фика. Оно определяет поле концентраций для молекулярной диффузии в рассматриваемой среде.

Для изотропной диффузии уравнение (1.20) может быть записано для изменения вдоль любой оси, например х , в следующем виде:

При переносе массы в движущейся среде имеет место конвективный перенос и перенос за счет молекулярной диффузии. Тогда вместо частной производной концентрации по времени в уравнении (1.20) надо писать полную производную, учитывающую и конвективный перенос. С учетом этого для (1.20) получим:

Уравнение (1.22) определяет поле концентраций с учетом молекулярной и конвективной диффузии. Как следует из этого уравнения, для описания макрокинетики процесса переноса массы необходимо учитывать гидродинамику и поэтому уравнение переноса в движущейся среде (1.22) должно быть дополнено уравнениями движения Навье-Стокса (1.10), определяющими поле скоростей и перенос импульса в движущейся среде.

Необходимо также отметить, что приведенные в данном разделе уравнения применимы для изотермической конвективной и молекулярной диффузии. Влияние изменения температуры описывается при молекулярном и конвективном переносе тепла.

Рассмотрим молекулярный перенос тепла аналогично переносу массы (Рис. 1.3). Температура t в общем случае изменяется как в пространстве, так и во времени т. е. .

Тогда поток тепла q , отнесенный к единице поверхности S будет пропорционален градиенту температуры в произвольном направлении n :

Это выражение называется законом теплопроводности Фурье. Здесь – коэффициент теплопроводности среды.

Закон молекулярного переноса теплоты для элементарного объема может быть получен аналогичным образом, как и для переноса массы. Тогда суммарное изменение количества тепла вдоль всех 3-х координат элементарного объема, проявляющееся в изменении температуры, равно изменению температуры, вовремя помноженному на произведение теплоемкости с рна плотность ρ [6]:

Выражение в скобках в уравнении (1.24) является оператором Лапласа, с учетом его сокращенного обозначения и дополнительного источника тепла qr, например, за счет химической реакции, с введением коэффициента температуропроводности а = / с р ρ , получим для выражения (1.24):

Уравнение (1.25) является следствием закона Фурье и также называется его именем. Оно определяет поле температур для молекулярного переноса тепла в рассматриваемой среде.

Для одномерной теплопроводности, например, вдоль оси х , уравнение (1.25) может быть записано в следующем виде:

При переносе тепла в движущейся среде имеет место конвективный перенос и перенос за счет молекулярной диффузии. Тогда вместо частной производной температуры по времени в уравнении (1.25) надо писать полную производную, учитывающую и конвективный перенос. С учетом этого для (1.25) получим

Уравнение (1.27) называется уравнением Фурье-Кирхгофа и определяет поле температур с учетом молекулярного и конвективного переноса тепла. Как следует из этого уравнения, для описания макрокинетики процесса теплопереноса необходимо учитывать гидродинамику и уравнение переноса в движущейся среде (1.27) должно быть дополнено уравнениями движения Навье-Стокса (1.10), определяющими поле скоростей в движущейся среде.