Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга?

Те же соображения, которые привели нас к физическому решению, позволяют утверждать, что посла всех переливаний воды в сосуде с вином окажется столько же, сколько вина в сосуде с водой, но их недостаточно, чтобы узнать, сколько именно жидкости перешло из одного сосуда в другой.

В связи с предыдущей задачей у меня возник следующий вопрос. Представим себе, что первоначально в сосуд A налито 10 мл воды, а в сосуд B — 10 мл вина, и мы переливаем жидкость из одного сосуда в другой и обратно по 3 мл любое конечное число раз. Сколько переливаний требуется произвести, чтобы процентное содержание вина в обоих сосудах стало одинаковым?

Я имел в виду следующий ответ: за любое конечное число переливаний невозможно добиться равенства концентраций вина в обоих сосудах. Независимо от того, сколько вина в одном сосуде, сколько воды в другом и сколько жидкости переливается каждый раз из сосуда в сосуд и обратно (если только один сосуд при переливании не опоражнивается полностью), концентрация вина в сосуде B всегда останется выше, чем в сосуде A. Убедиться в этом можно при помощи простого рассуждения, использующего математическую индукцию. Первоначально концентрация вина в сосуде B, несомненно, выше, чем в сосуде A. Предположим, что после какого-то числа переливаний концентрация вина в сосуде B остается по-прежнему выше, чем в сосуде A. Переливая затем какое-то количество жидкости из сосуда B в сосуд A, мы будем переливать более крепкий раствор в более слабый. Следовательно, и после очередного переливания концентрация вина в сосуде B останется выше, чем в сосуде A. Если мы перельем какое-то количество жидкости из сосуда A в сосуд B, то концентрация вина в B также останется выше, чем в A. Так как любое переливание сводится к одному из этих двух случаев, то мы заключаем, что концентрация вина в сосуде B всегда больше, чем в сосуде A. Единственный способ выравнять концентрации — перелить целиком содержимое одного сосуда в другой.

Если эту задачу рассматривать как чисто математическую, то мои рассуждения безупречны. Но если рассматривать ее как физическую задачу, то в моем рассуждении обнаруживаются уязвимые места. Оно исходит из представления о безграничной делимости жидкости, в то время как реальные жидкости состоят из дискретных молекул. На это обстоятельство один из читателей обратил внимание Мартина Гарднера [6] См. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971, с. 286. . Он подсчитал, что после 47 переливаний «туда и обратно» концентрация вина в обоих сосудах с высокой вероятностью окажется равной.

Интересно, останется ли в силе предложенное этим читателем решение, если число молекул в сосуде вина будет нечетным? Проживи я на свете миллион лет, мне никогда не пришло бы в голову, что эта задача не математическая, а физическая.

Мартин Гарднер предложил следующую задачу [7] См. Гарднер М. Математические новеллы. — М.: Мир, 1974, с. 170. . Представьте себе, что вы заперты в комнате, где (так же как и на вас самих) нет ничего металлического, кроме двух совершенно одинаковых с виду железных брусков. Один из брусков намагничен. Установить, какой именно, можно, подвесив каждый из брусков на нити, обвязанной вокруг середины бруска: намагниченный брусок будет вести себя как стрелка компаса, то есть указывать на север. Нельзя ли установить, какой из брусков намагничен, более простым способом?

Приведенное в книге Гарднера решение состояло в том, чтобы дотронуться концом одного бруска до середины другого. Если вы почувствуете притяжение, то брусок, которым вы дотрагивались, намагничен. Если притяжения не возникает, то в руках у вас находится ненамагниченный брусок.

Это «физическое» решение вполне разумно. Осуществить его «экспериментально» проще, чем подвешивать оба бруска на нитях. Будучи все-таки логиком, а не физиком, я придумал еще одно решение, занимающее по своей простоте промежуточное положение между «физическим» и «лобовым». Я предлагаю взять один брусок, обвязать его нитью посредине и, подвесив на нити, посмотреть, будет ли он указывать на север.

Как вы мыслите: физически или математически? Следующий великолепный тест позволит безошибочно определить, физик вы или математик.

Вы находитесь в летней кухне. В вашем распоряжении нерастопленная плита, коробок спичек, кран с холодной водой и пустая кастрюля. Требуется нагреть кастрюлю воды. Что бы вы стали делать? Должно быть, на этот вопрос вы ответили бы так: «Я налил бы в кастрюлю холодной воды из крана, зажег плиту, поставил кастрюлю на огонь и подождал бы, пока вода в кастрюле не нагреется». Прекрасно! На этом этапе между математиками и физиками царит полное согласие. Различие в подходе обнаруживается при попытке решить следующую задачу.

Вы снова находитесь в летней кухне. В вашем распоряжении нерастопленная плита, коробок спичек, кран с холодной водой и кастрюля, в которую налита холодная вода. Требуется нагреть кастрюлю воды. Что бы вы стали делать? Большинство людей отвечают: «Зажег бы плиту и поставил кастрюлю с водой на огонь». Если вы думаете так же, то вы физик! Математик бы вылил воду из кастрюли и тем самым свел бы новую задачу к предыдущей, которая решена.

Мы могли бы продвинуться еще на один шаг и рассмотреть случай, когда кастрюля с холодной водой уже поставлена на огонь. Как получить горячую воду в этом случае? Физик просто подождал бы, пока вода не нагреется, а математик погасил бы огонь, вылил воду из кастрюли и тем самым свел бы нашу новую задачу к первой (или ограничился бы тем, что погасил огонь, сведя задачу ко второй, уже решенной).

Еще более наглядно различие между физиком и математиком проявляется в следующем («драматическом») варианте задачи. Представьте себе, что в доме, где вы находитесь, начался пожар. В вашем распоряжении пожарный кран и шланг (не присоединенный ни к чему). Как потушить пожар? Ясно, что прежде всего необходимо присоединить шланг к крану, а затем пустить струю воды в пламя. Предположим теперь, что в вашем распоряжении пожарный кран, шланг (не присоединенный ни к чему) и никакого пожара в доме нет. Как бы вы стали тушить пожар?. Математик сначала поджег бы дом, чтобы свести задачу к предыдущей.

Эту задачу можно решить двумя способами: «трудным» и «легким».

Два поезда, находившиеся на расстоянии 200 км друг от друга, сближаются по одной колее, причем каждый развивает скорость 50 км/ч. С ветрового стекла одного локомотива в начальный момент движения взлетает муха и принимается летать со скоростью 75 км/ч вперед и назад между поездами, пока те, столкнувшись, не раздавят ее. Какое расстояние успевает пролететь муха до столкновения?