Яков Перельман - Большая книга занимательных наук

872 872 = 872 000 + 872.

Теперь ясно, что́, собственно, проделано было с числом: его увеличили в 1000 раз и, кроме того, прибавили его самого; короче сказать – умножили число на 1001.

Что же сделано было потом с этим произведением? Его разделили последовательно на 7, на 11 и на 13. В конечном итоге, значит, разделили его на 7 х 11 х 13, т. е. на 1001.

Итак, задуманное число сначала умножили на 1001, потом разделили на 1001. Надо ли удивляться, что в результате получилось то же самое число?

Прежде чем закончить главу о головоломках в доме отдыха, расскажу еще об арифметических фокусах, которыми вы можете занять досуг ваших товарищей…

Пусть товарищ ваш задумает какое-нибудь многозначное число, например 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8 + 4 + 7) = 19 и отнять ее от задуманного числа. У загадчика окажется:

847 – 19 = 828.

В том числе, которое получится, пусть он зачеркнет одну цифру – безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно называете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.

Как можете вы это выполнить и в чем разгадка фокуса?

Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщены цифры 2 и 8, то, сложив 2 + 8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18, не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.

Почему так получается? Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то должно остаться число, делящееся на 9, – иначе говоря, такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе а – цифра сотен, 6 – цифра десятков и с — цифра единиц. Значит, всего в этом числе содержится единиц

100а + 106 + с.

Отнимаем от этого числа сумму его цифр а + 6 + с. Получим 100а + 106 + с – (а + b + с) = 99 а + 96 = 9 · (11а + 6).

Но 9 · (11а + 6), конечно, делится на 9; значит, при вычитании из числа суммы его цифр всегда должно получиться число, делящееся на 9 без остатка.

При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9 (например, 4 и 5). Это показывает, что зачеркнутая цифра есть либо 0, либо 9. Так вы и должны ответить: 0 или 9.

Вот видоизменение того же фокуса: вместо того чтобы из задуманного числа вычитать сумму его цифр, можно вычесть число, полученное из данного какой-либо перестановкой его цифр. Например, из числа 8247 можно вычесть 2748 (если получается число, большее задуманного, то вычитают меньшее из большего). Дальше поступают, как раньше сказано: 8247–2748 = 5499; если зачеркнута цифра 4, то, зная цифры 5, 9, 9, вы соображаете, что ближайшее к 5 + 9 + 9, т. е. 23, число, делящееся на 9, есть 27. Значит, зачеркнутая цифра 27–23 = 4.

Когда и где происходила эта история – неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы ее послушать.

1.

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.

«Бывают же такие удачи, – рассказывал он домашним. – Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя невидный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.

– Сделаем, – говорит, – с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно вымолвить – всего только одну копейку.

Я ушам не верил!

– Одну копейку? – переспрашиваю.

– Одну копейку, – говорит, – за вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.

– Ну, – не терпится мне. – А дальше?

– А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвертую – 8, за пятую – 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

– И потом что? – спрашиваю.

– Все, – говорит, – больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.

Сотни тысяч рублей за копейки отдает! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.

– Ладно, – говорю. – Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.

– Будь покоен, – говорит, – завтра с утра жди. Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра недолго ждать».

2.

Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.

– Деньги готовь, – говорит. – Я свои принес.

И, действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги – настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч и говорит:

– Вот мое по уговору. Твой черед платить. Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмет гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует. Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал в суму.

– Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси, – сказал он и ушел.

Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые; все правильно. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты.

Ночью взяло его сомнение: не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей?

Запер богач двери покрепче, с вечера в окно поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог. Наутро снова стук в окно: незнакомец деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел, бросив на прощанье:

– К завтрашнему четыре копейки, смотри, приготовь.

Снова радуется богач: вторая сотня тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож: по сторонам не глядит, не высматривает, свои только копейки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось…

Явился незнакомец и на третий день – третья сотня тысяч перешла к богачу за 4 копейки.

Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч – за 8 копеек.

Пришла и пятая сотня тысяч – за 16 копеек.

Потом шестая за 32 копейки.

Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки:

1 к. + 2 к. + 4 к. + 8 к. + 16 к. + 32 к. + 64 к. = 1 р. 27 к.