Яков Перельман - Большая книга занимательных наук

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.

В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно в полгода: это дало бы ему всего 5 четвертей [79] 1 четверть – русская мера объема сыпучих тел равна двум осьминам, или 209,91 л (1 л составляет 1 куб дм, или 0,001 куб. м). Таким образом, в полгода Сета отсчитал бы всего около 1050 литров зерна пшеницы. – Примеч. ред. . Считая непрерывно в течение 10 лет, он отсчитал бы себе не более 100 четвертей. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.

В детстве старший брат показал мне, помню, занимательную игру с монетами. Поставив рядом три блюдца, он положил в крайнее блюдце стопку из 5 монет: вниз рублевую, на нее – 50-копеечную монету, выше – 20-копеечную, далее – 15-копеечную, на самый верх – 10-копеечную [80] Повторяя эту игру, читатель может взять любые 5 монет (или картонных кружков). Важно лишь, чтобы монета, лежащая внизу, была самой большой, а дальше монеты располагались в порядке убывания их диаметра снизу вверх. – Примеч. ред. .

– Нужно перенести эти монеты на третье блюдце, соблюдая следующие три правила. Первое правило: за один раз перекладывать только одну монету. Второе: никогда не класть большей монеты на меньшую. Третье: можно временно класть монеты и на среднюю тарелку, соблюдая оба правила, но к концу игры все монеты должны очутиться на третьем блюдце в первоначальном порядке. Правила, как видишь, не сложные. А теперь приступай к делу.

Я принялся перекладывать. Положил 10-копеечную монету на третье блюдце, 15-копеечную на среднее и запнулся. Куда положить 20-копеечную? Ведь она крупнее и 10-копеечной, и 15-копеечной.

– Ну что же? – выручил меня брат. – Клади 10-копеечную на среднее блюдце, поверх 15-копеечной. Тогда для 20-копеечной освободится третье блюдце.

Я так и сделал. Но дальше – новое затруднение. Куда положить 50-копеечную монету? Впрочем, я скоро догадался: перенес сначала 10-копеечную на первое блюдце, 15-копеечную на третье и затем 10-копеечную тоже на третье. Теперь 50-копеечную монету можно положить на свободное среднее блюдце. Дальше, после длинного ряда перекладываний, мне удалось перенести также рублевую монету с первого блюдца и, наконец, собрать всю кучку монет на третьем блюдце.

– Сколько же ты проделал всех перекладываний? – спросил брат, одобрив мою работу.

– Не считал.

– Давай сосчитаем. Интересно же знать, каким наименьшим числом ходов можно достигнуть цели. Если бы стопка состояла не из 5, а только из 2 монет —

15-копеечной и 10-копеечной, то сколько понадобилось бы ходов?

– Три: 10-копеечную на среднее блюдце, 15-копеечную – на третье и затем 10-копеечную на третье блюдце.

– Правильно. Прибавим теперь еще монету – 20-копеечную – и сосчитаем, сколькими ходами можно перенести стопку из этих монет. Поступаем так: сначала последовательно переносим меньшие две монеты на среднее блюдце. Для этого нужно, как мы уже знаем, 3 хода. Затем перекладываем 20-копеечную монету на свободное третье блюдце – 1 ход. А тогда переносим обе монеты со среднего блюдца тоже на третье – еще 3 хода. Итого всех ходов

3 + 1 + 3 = 7.

– Для четырех монет число ходов позволь мне сосчитать самому. Сначала переношу 3 меньшие монеты на среднее блюдце – 7 ходов; потом 50-копеечную на третье блюдце – 1 ход и затем снова три меньшие монеты на третье блюдце – еще 7 ходов. Итого

7 + 1 + 7= 15.

– Отлично. А для пяти монет?

– 15 + 1 + 15 = 31, – сразу сообразил я.

– Ну вот ты и уловил способ вычисления. Но я покажу тебе, как можно его еще упростить. Заметь, что полученные нами числа 3, 7,15, 31 – все представляют собой двойку, умноженную на себя один или несколько раз, но без единицы. Смотри.

И брат написал табличку:

3 = 2 x 2–1

7=2 х 2 х 2–1

15 = 2 x 2 x 2 x 2–1

31 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2–1.

– Понимаю: сколько монет перекладывается, столько раз берется двойка множителем, а затем отнимается единица. Я мог бы теперь вычислить число ходов для любой стопки монет. Например, для 7 монет:

2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2–1 = 128-1 = 127.

– Вот ты и постиг эту старинную игру. Одно только практическое правило надо тебе еще знать: если в стопке число монет нечетное, то первую монету перекладывают на третье блюдце; если четное – то на среднее блюдце.

– Ты сказал: старинная игра. Разве не сам ты ее придумал?

– Нет, я только применил ее к монетам. Игра очень древнего происхождения и зародилась, говорят, в Индии. Существует интересная легенда, связанная с этой игрой. В городе Бенаресе будто бы имеется храм, в котором индусский бог Брама при сотворении мира установил три алмазные палочки и надел на одну из них 64 золотых кружка: самый большой внизу, а каждый следующий меньше предыдущего. Жрецы храма обязаны без устали, днем и ночью, перекладывать эти кружки с одной палочки на другую, пользуясь третьей как вспомогательной и соблюдая правила нашей игры: переносить за один раз только один кружок и не класть большего на меньший. Легенда говорит, что когда будут перенесены все 64 кружка, наступит конец мира.

– О, значит, мир давно уже должен был погибнуть, если верить этому преданию!

– Ты думаешь, кажется, что перенесение 64 кружков не должно отнять много времени?

– Конечно. Делая каждую секунду один ход, можно ведь в час успеть проделать 3600 перенесений.

– Ну и что же?

– А в сутки – около ста тысяч. В десять дней – миллион ходов. Миллионом же ходов можно, я уверен, перенести хоть тысячу кружков.

– Ошибаешься. Чтобы перенести всего 64 кружка, нужно уже круглым счетом 500 миллиардов лет!

– Но почему это? Ведь число ходов равно только произведению 64 двоек без единицы, а это составляет… Погоди, я сейчас перемножу!

– Прекрасно. А пока будешь умножать, я успею сходить по своим делам.

И брат ушел, оставив меня погруженным в выкладки. Я нашел сначала произведение 16 двоек, затем умножал этот результат – 65 536 – сам на себя, а то, что получилось, – снова на себя. Потом не забыл отнять единицу.

У меня получилось такое число:

18 446 744 073 709 551 615.

Брат, значит, был прав…

В столовой дома отдыха зашла за обедом речь о том, как вычисляется вероятность событий. Молодой математик, оказавшийся среди обедающих, вынул монету и сказал: