Яков Перельман - Занимательный космос. Межпланетные путешествия

Другой пример представляет изображенный на рис. 58 двусторонний пистолет. На штативе горизонтально лежит медная трубка, на один конец которой навинчен массивный металлический цилиндр. Другой такой же цилиндр имеет насадку, плотно входящую в трубочку [49] . В трубке сделано отверстие для поджигания с полочкой для пороха. Насыпав на полочку и в трубку немного пороха, вставляют снаряд и кладут пистолет на штатив. Затем при помощи раскаленной проволоки поджигают порох, насыпанный на полочку; порох в трубке взрывается – оба цилиндра с насадками получают ускорения в противоположные стороны и упадут на стол в одинаковых расстояниях от штатива. Действие взрыва одинаково в обе стороны и сообщает обоим цилиндрам одинаковые скорости.

Рис. 58. Двусторонний пистолет

Повторяют опыт с различнымимассами. Пусть цилиндр, скрепленный с трубочкой, весит 50 г, а вставляющийся в нее – 100 г. После взрыва первый отлетает вдвое дальше второго, хотя давление взрывных газов в обе стороны одинаково.

В каком бы отношении ни находились снаряды, всегда начальные скорости снарядов обратно пропорциональны их массам и, значит, произведения масс снарядов на начальные скорости одинаковы.

Движение снарядов можно определить таким правилом: если до взрыва весь пистолет был в равновесии относительно некоторой оси вращения, то это равновесие сохраняется в каждый момент после взрыва, – причем путь обоих снарядов рассматривается как соединяющая их невесомая проволока, а вся система – как рычаг.

В самом деле, горизонтальные расстояния обоих снарядов от оси вращения в каждый момент движения обратно пропорциональны соответствующим массам, а это отвечает условию равновесия рычага. Воображаемая ось всегда проходит поэтому через центр тяжести обеих частей пистолета, так что положение центра тяжести остается неизменным (закон сохранения центра тяжести). Закон этот справедлив и для того случая, когда пистолет перед взрывом не был в покое, а двигался с постоянной скоростью. В этом случае после взрыва его части движутся так, что их общий центр тяжести продолжает свое прежнее движение с той же скоростью ( сохранение движения центра тяжести). То же самое будет, конечно, при распаде на несколько частей – например, при движении осколков разорвавшейся гранаты или обломков распавшихся космических тел».

Движение ракеты

а) Движение ракеты в среде без тяжести . Ввиду фундаментального значения «уравнения ракеты» для всей теории звездоплавания приводим далее два ее вывода: один – элементарный, для незнакомых с высшей математикой, и другой – более строгий, с применением интегрального исчисления.

Пусть первоначальная масса покоящейся ракеты равна Мt . Заменим непрерывное вытекание газа из трубы рядом последовательных толчков; с каждым толчком вытекает 1/ п массы Mt ракеты со скоростью с. После первоготолчка масса ракеты уменьшается до

после второготолчка остающаяся масса ракеты равна

а после k- го —

Скорость V1, приобретаемую ракетой после первого толчка, легко вычислить, исходя из того, что общее количество движения всех частей ракеты до и после разъединения одинаково, т. е. равно нулю:

откуда

Скорость v2 после второготолчка можно считать равной 2v1, т. е. , а после k- го толчка

откуда

Подставив это выражение для к в формулу

получаем

Преобразуем последнее выражение:

потому что

Выражение:

при бесконечно большом п (т. е. при переходе от толчков к непрерывному вытеканию газа) равно, как известно, 1/e где е = 2,718. Тогда преобразуемое выражение получает вид:

откуда получаем уравнение ракеты:

Укажем теперь более строгий вывод того же основного уравнения. Обозначим массу ракеты в некоторый момент через М и предположим, что до горения ракета была неподвижна. Вследствие горения ракета отбрасывает бесконечно малую часть dM своей массы с постоянною скоростью с (по отношению к ракете). При этом остальная часть массы ракеты (М– dM) получает некоторую бесконечно малую прибавку скорости dv. Сумма количества движения обеих частей ракеты должна быть, по законам механики (см. выше), та же, что и до горения, т. е. должна равняться нулю:

cdM + (М– dM)dv = О,

или, по раскрытии скобок,

cdM + Mdv – dMdv = 0.

Отбросив член dMdv как бесконечно малую второго порядка (произведение двух бесконечно малых величин), имеем уравнение:

cdM + Mdv = 0,

которое представляем в виде

Интегрируя это диференциальное уравнение, получаем:

или

Мы пришли к уравнению ракеты или ко «второй теореме Циолковского», которую он формулирует так:

«В среде без тяжести окончательная скорость (v) ракеты не зависит от силы и порядка взрывания, а только от количества взрывчатого материала (по отношению к массе ракеты) и от устройства взрывной трубы».

б) Движение ракеты в условиях тяжести. Ускорение а, приобретаемое ракетой при отвесном подъеме с Земли, равно, очевидно, разности между собственным ускорением ракеты р и ускорением земной тяжести g:

a = p – g.

Так как приобретаемая при этом ракетой окончательная скорость v1= at1 то продолжительность горения равна v1/ a , т. е.

Из этого равенства и из соотношения v= pt мы выводим, что при одинаковой продолжительности горения (t = t1):

откуда

Значит,

т. е. окончательная скорость ракеты в среде тяжести меньше, чем в среде без тяжести, на такую же долю, какую ускорение (g) тяжести составляет от собственного ускорения (р) ракеты.

Далее, зная из предыдущего, что в среде без тяжести

получаем, что окончательная скорость v1 ракеты в условиях тяжести

или

Формула (2) позволяет вычислить окончательную скорость, приобретаемую ракетой в поле тяготения, если известно отношение

масс заряженной и незаряженной ракеты и ее собственное ускорение р. Это последнее, мы знаем, не должно превышать 4-кратного ускорения земной тяжести, чтобы быть безвредным для человеческого организма. При p = 4g имеем

Формулы эти не принимают, конечно, в расчет сопротивления воздуха.

Полезное действие свободной ракеты и ракетного экипажа

Подсчитаем, какую долю энергии потребляемого горючего ракета переводит в полезную механическую работу.

Обозначим, как прежде, массу свободной ракеты до взрывания через М t , после взрывания – через Mt , после взрывания – через Mk ; масса израсходованного горючего выразится тогда через Mt – Mk , скорость вытекания газа – с. Живая сила вытекающих газов, т. е. кинетическая энергия, равна