Всё о метрологии

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке результатов измерения методы математической статистики, имеющей дело именно со случайными величинами.

Рассмотрим результат наблюдений Х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения Z , в различных наблюдениях за ней. Значения X i будем называть результатами отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения [1].

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения X i в i -м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х , от самой величины х :

F x ( x ) = P ( X i ≤ x ) (4)

Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие — значений, принимаемых случайными величинами. Поскольку функция распределения вероятности представляет собой вероятность, то она удовлетворяет следующим свойствам:

• 0 ≤ F x ( x ) ≤ 1 при x ∈ (–∞, +∞),

• F x (–∞) = 0, F x (+∞) = 1,

• F x ( x ) — неубывающая функция x ,

• P( x 1< X < x 2) = F X ( x 2) – F X ( x 1).

На рис.2 показаны примеры функций распределения вероятности.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей :

f ( x ) = dF X ( x )/ dx (5)

Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x)dx представляет вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х + dx , т.е.

f ( x ) dx = P ( x ≤ X ≤ x+dx ) (6)

Свойства плотности распределения вероятности:

— вероятность достоверного события равна 1;

иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;

— вероятность попадания случайной величины в интервал от x 1до x 2.

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:

(7)

Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы (7), обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность — величина безразмерная.

Используя понятия функций распределения, легко получить выражения для вероятностей того, что результат наблюдений Х или случайная погрешность δ примет при проведении измерения некоторое значение в интервале [ x 1, x 2] или [δ 1, δ 2].

В терминах интегральной функции распределения имеем:

P ( x 1 < X ≤ x 2) = P {-∞ < X ≤ x 2} – P{-∞ < X ≤ x 1} = F x ( x 2) – F x ( x 1)

P (δ 1 < δ ≤ δ 2) = P {-∞ < δ ≤ δ 2} – P{-∞ < δ ≤ δ 1} = F δ(δ 2) – F δ(δ 1)

т.е. вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала.

Заменяя в полученных формулах интегральные функции распределения на соответствующие плотности распределения вероятностей согласно выражению (7), получим формулы для искомой вероятности в терминах дифференциальной функции распределения:

(8)

(9)

Таким образом, вероятность попадания результата наблюдения или случайной погрешности в заданный полуоткрытый интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала. Необходимо отметить, что результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения, и называемую математическим ожиданием результатов наблюдений :

(10)

В заключение можно дать более строгое определение постоянной систематической и случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины:

θ = M [ X ] – Q (11)

а случайной погрешностью — разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов

δ = X – M[ X ] (12)

В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет

Q = X – θ – δ (13)

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами [3].

Начальным моментом n -го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

(14)

представляющий собой математическое ожидание степени X n .

При n =1

(15)

т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений.