Иэн Стюарт - Математика космоса: Как современная наука расшифровывает Вселенную

В действительности он вывел свою формулу силы из законов Кеплера, сделав одно допущение: Солнце притягивает к себе планеты с силой, всегда направленной к его центру. Исходя из этого допущения, Ньютон доказал, что сила эта обратно пропорциональна квадрату расстояния. Таким замысловатым образом математики выражают ту мысль, что, к примеру, умножение массы любого из тел на три утраивает также и действующую силу, а вот умножение на три расстояния между объектами снижает силу притяжения между ними до 1/9 первоначального значения. Ньютон доказал также обратное утверждение: из «закона обратных квадратов» следуют три закона Кеплера.

Слава открывателя закона всемирного тяготения справедливо досталась Ньютону, но идея, по существу, была неоригинальна. Кеплер вывел нечто подобное по аналогии со светом, но он полагал, что гравитация толкает планеты в их движении по орбитам. Исмаэль Буйо (подписывавшийся также латинизированным именем Буллиальд) был с ним не согласен; он утверждал, что сила притяжения должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния. Роберт Гук в лекции, прочитанной в Королевском обществе в 1666 году, сказал, что все тела движутся прямолинейно, если на них не действует сила, все тела тяготеют друг к другу и что сила гравитационного притяжения убывает с расстоянием по формуле, которую «я, признаю, еще не установил». В 1679 году Гук пришел к выводу о том, что сила тяготения изменяется с расстоянием по обратно-квадратичному закону, и написал об этом Ньютону. Так что Гук, конечно, был уязвлен, когда обнаружил в точности то же самое в Ньютоновых «Началах», несмотря на то что Ньютон в книге выразил ему благодарность наряду с Галлеем и Кристофером Реном.

Гук, правда, признал, что только Ньютон сумел определить, что замкнутые орбиты имеют форму эллипса. Ньютон знал, что обратно-квадратичная зависимость допускает также параболические и гиперболические орбиты, но эти кривые не являются замкнутыми, так что движение по ним не повторяется периодически. Орбиты такого рода также находят применение в астрономии, в основном там, где речь идет о кометах.

Закон Ньютона превосходил законы Кеплера благодаря одной дополнительной черте, которая была предсказанием, а не теоремой. Ньютон понял, что, поскольку Земля притягивает Луну, разумно предположить, что и Луна, в свою очередь, притягивает Землю. Земля и Луна, как два сельских танцора, держась за руки, кружатся в бесконечном танце. Каждый танцор чувствует, с какой силой партнер тянет его за руки. Каждый танцор удерживается на месте посредством этой силы: если разжать руки, танцоры, кружась, унесутся по залу в разные стороны. Однако Земля намного массивнее Луны, так что процесс напоминает танец толстяка с маленьким ребенком. При этом кажется, что толстяк кружится на месте, а ребенок носится вокруг него кругами. Но посмотрите внимательно, и вы увидите, что толстяк тоже описывает круги: его ноги движутся по небольшому кругу, а центр, вокруг которого он вращается, расположен немного ближе к ребенку, чем должно было бы быть, если бы он вращался один.

Такие рассуждения привели Ньютона к предположению о том, что каждое тело во Вселенной притягивает к себе все остальные тела. Законы Кеплера приложимы только к двум телам – Солнцу и планете. Закон Ньютона применим к любой системе тел в принципе, поскольку он дает как величину, так и направление всех возникающих в системе сил . При подстановке в законы движения комбинация всех этих сил определяет ускорение каждого тела и, следовательно, его скорость и положение в любой момент времени. Провозглашение универсального закона гравитации стало эпохальным событием в истории науки – событием, которое позволило прояснить скрытый математический механизм, обеспечивающий существование Вселенной.

Ньютоновы законы движения и гравитации положили начало долговременному союзу между астрономией и математикой – союзу, которому мы обязаны значительной частью того, что знаем сегодня о космосе. Но даже если вы поняли, что представляют собой эти законы, то это не значит, что вы сможете напрямую применить их к решению конкретных задач. Сила тяготения, к примеру, нелинейна – этот технический термин означает, в сущности, что вы не можете решать уравнения движения при помощи красивых формул. И при помощи некрасивых, кстати говоря, тоже.

Математики постньютоновской эпохи обходили это препятствие двумя способами: либо разбирали совершенно искусственные (хотя и очень интересные) задачи, такие, например, как взаимодействие трех одинаковых масс, расположенных в вершинах равностороннего треугольника, либо искали приближенные решения более реалистичных задач. Второй подход более практичен, но следует отметить, что немало полезных идей удалось извлечь именно из первого подхода, несмотря на всю его искусственность.

На протяжении долгого времени научным наследникам Ньютона приходилось производить все вычисления вручную – и во многих случаях это была поистине героическая задача. Яркий пример такого рода – Шарль-Эжен Делоне, который в 1846 году начал вычислять приближенную формулу движения Луны. На это у него ушло более двадцати лет, а результаты пришлось публиковать в двух томах. В каждом из этих томов более 900 страниц, и весь второй том занимает собственно формула. В конце XX века результат Делоне удалось проверить с применением компьютерной алгебры (программных систем, способных манипулировать не только числами, но и формулами). Было выявлено всего две небольшие ошибки, одна из которых является следствием другой; суммарный эффект от обеих ошибок пренебрежимо мал.

Законы движения и гравитации – это законы особого рода, законы, выражаемые так называемыми дифференциальными уравнениями. Такие уравнения задают скорость, с которой те или иные величины изменяются с течением времени. Скорость – это быстрота изменения положения тела; ускорение – это быстрота изменения скорости. Знание скорости, с которой в настоящее время изменяется та или иная величина, позволяет вам спроецировать эту величину в будущее. Если машина едет со скоростью 10 метров в секунду, то через секунду она сдвинется на 10 метров. Однако для того, чтобы считать таким способом, нужно, чтобы скорость была постоянной. Если же машина ускоряется, то за секунду она отъедет от вас более чем на 10 метров. Чтобы обойти эту проблему, в дифференциальных уравнениях указывается мгновенная быстрота изменения. По существу, они работают с очень короткими промежутками времени, так что быстроту изменения на этом промежутке можно считать постоянной. На самом деле математикам потребовалось несколько столетий, чтобы довести эту идею до полной логической строгости, поскольку никакой конечный интервал времени нельзя считать мгновенным, если он не равен нулю, а за нулевой интервал времени ничто не меняется.