Э Розенталь - Геометрия, динамика, вселенная

(ct)**2 - x**2 - y**2 - z**2 = 0 (20)

или в дифференциальной форме

(cdt)**2 - dx**2 - dy**2 - dz**2 = 0 (21)

Соотношения (20) и (21) кардинально отличаются от связи между пространством и временем в классической физике (см. (12)). В последнем соотношении пространственные и временные координаты выступают как независимые переменные. Равенства (20) и (21) жестко связывают пространство и время. Пространство и время образуют единый физико-математический континуум. Иногда (особенно в период ранних дискуссий о теории относительности) наиболее ревностные ее апологеты утверждали, что Эйнштейн и Минковский полностью уравняли пространство и время. Это утверждение неверно. В соотношениях (20) и (21) временная и пространственные координаты выступают с разными знаками, что отражает их фундаментальное различие: время (в отличие от пространства) - направленный вектор: существует принцип причинности, различающий будущее и прошлое.

В соответствии с обозначениями дифференциальной геометрии выражение (21) записывается в форме

ds**2 = (cdt)**2 - dx**2 - dy**2 - dz**2 = 0 (22)

Второй постулат теории относительности можно сформулировать на геометрическом языке как утверждение, что для света (в пустоте) интервал ds**2 инвариантен относительно вращений и трансляций в 4-мерном континууме пространства-времени.

Инвариантность интервала ds**2 нетрудно обобщить и на случай тела и системы отсчета, движущейся со скоростью v/=c. Из опыта известно, что скорость света в пустоте максимальна. Поэтому это неравенство следует уточнить так: v

Рассмотрим две инерциальные системы координат, движущиеся со скоростью v друг относительно друга. Из (22) следует, что если в одной системе координат ds=0, то и в другой ds'=0. Рассмотрим общий случай: v= c выполняется (22), то и в общем случае ds и ds' могут отличаться лишь постоянным множителем. Из изотропии и однородности пространства следует, что этот множитель равен 1`. Следовательно, интервал

ds**2 = (cdt)**2 - dx**2 - dy**2 - dz**2 = const (23)

относительно вращений и трансляций.

-----------------------------------------------------------` Подробнее доказательство этого утверждения представлено в кн.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. 6-е изд. М.: Наука, 1973, С.16. -----------------------------------------------------------

Геометрия, в которой интервал имеет вид (23), называется псевдоевклидовой. Из равенства малых интервалов следует также и инвариантность конечных интервалов.

Инвариантность интервалов ds или s - математической отражение принципиально нового подхода к взаимосвязи пространства и времени. Пространство и время образуют единый математический континуум. Формально это выражается в том, что они составляют пространство Минковского.

Инвариантность интервала ds или s является основой для вывода важнейших следствий теории относительности. чтобы упростить дальнейшие рассуждения, мы ограничимся одной пространственной координатой x. Обобщение на трехмерное пространство (x, y, z) не представляет труда, все сделанные далее выводы при этом сохраняются.

===РИС.4

Отметим прежде всего, что теория относительности существенно изменяет наши повседневные представления о прошлом, будущем и настоящем. Из-за конечности скорости света c причинно-следственные связи определены лишь при значении интервала s>=0. Чтобы представить себе наглядно неопределенно неопределенность ситуации при s<0, допустим, что в момент чтения книги в отдаленной части галактики произошел взрыв звезды, а читатель никак не ощутил этот взрыв и не имеет возможности получить о нем какую-либо информацию. Это типичный пример, отражающий ситуацию при s<0.

Графически можно можно все пространство-время (x,t) разделить на четыре области (рис.4). Пусть две пересекающиеся линии соответствуют уравнениям x = +-ct. Тогда области внутри угла AOB соответствуют будущему; внутри угла COD - прошлому, а углам AOC и BOD - неопределенной ситуации, которая в общем случае зависит от движения системы отсчета. В этом смысле надо понимать сделанное выше замечание относительно тезиса Аристотеля (отсутствие настоящего). Настоящее, соответствующее одновременно происходящим в разных точках пространства событиям, есть понятие относительное. Оно зависит от движения системы отсчета.

Рассмотрим далее преобразование координаты x и времени t при переходе от одной системы отсчета (x,t) к другой (x',t'), движущейся со скоростью v относительно первой.

Условие, определяющее это преобразование, инвариантность интервала s=s'. Это условие определяет преобразование, которое является единственным с точностью до тривиального переноса начала системы отсчета

x' = x ch PSI + ct sh PSI,

(24) ct' = x sh PSI + ct ch PSI,

PSI - аналог угла поворота декартовой системы в евклидовом пространстве (ср. с преобразованием (13)). В формуле (24) ch и ch - гиперболические функции в отличие от обычных тригонометрических функций в соотношении (13). Эта разница определяется тем, что в евклидовом (двумерном) пространстве Inv = x**2 + y**2 - окружность, а в псевдоевклидовом пространстве Inv = t**2 - x**2 - гипербола.

Положим для простоты x=0. Это допущение не уменьшает общности рассуждений, однако сильно упрощает выкладки. Тогда

x' = ct sh PSI, ct' = ct ch PSI. (25)

Учитывая, что x'/t'=v, из (25) следует, что th PSI = v/c. Используя известные соотношения для гиперболических функций, легко получить

sh PSI = (v/c) [1-(v/c)**2]**(-1/2),

(26) ch PSI = [1-(v/c)**2]**(-1/2),

после чего из формул (24) и (26) следуют преобразования Лоренца:

x+vt x' = ------------------ ,

-------------,

\/ 1-(v/c)**2

(27)

t+vx/c**2 t' = ------------------ .

-------------,

\/ 1-(v/c)**2

Из соотношений (27) следует:

1. При v/c 1 преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (12).

2. Интервалы длины и времени преобразуются соответственно:

^x ^x' = ------------------ ,

-------------,

\/ 1-(v/c)**2

(28)

^t ^t' = ------------------ .

-------------,

\/ 1-(v/c)**2

Наметим далее вывод из метрических свойств пространства Минковского уравнения движения материальной точки

p=mu, (29)

где u - скорость частицы.

В ньютоновской механике v = dx/dt; m=const (t абсолютное время). Чтобы обобщить импульс в рамках теории относительности, нужно проделать две операции, специфические для теории относительности: 1) условиться о системе отсчета, в которой определяется время; 2) обобщить 3-мерные векторы ньютоновской физики на 4-мерное пространство Минковского. Иначе говоря, следует ввести 4-мерный вектор, который при v/c -> 0 переходил бы в 3-мерный евклидов вектор, а в рамках теории относительности был бы аналогом 4-вектора (t,x,y,z). Найдем 4-мерный аналог скорости v=dx/dt. В русле идей теории относительности существует выделенная (собственная) система отсчета, связанная с материальной точкой. Действительно, в этой системе величина dx=const и время t=TAU однозначно связано с инвариантным интервалом ds. В том же случае, когда тело "истинно" точечное (dx=0), то ds=c d TAU. Поэтому естественно в формуле для скорости положить