Мартин Гарднер - Есть идея!

Что имела в виду мисс Блек?

По условиям первой задачи на взвешивание пилюль все более тяжелые пилюли находятся в одном флаконе. Взяв из различных флаконов различное число пилюль (проще всего взять из каждого флакона число пилюль, равное его номеру), мы установим взаимно-однозначное соответствие между множеством номеров и множеством флаконов.

Чтобы решить вторую задачу, необходимо воспользоваться последовательностью, которая бы сопоставляла каждому флакону отличный от других номер и обладала бы еще одним дополнительным свойством: сумма членов любой ее подпоследовательности должна быть отличной от суммы членов любой другой ее подпоследовательности. Существуют ли такие последовательности? Да, существуют. Примером может служить хотя бы геометрическая прогрессия со знаменателем 2 и первым членом 1: 1, 2, 4, 8, 16… Все члены этой последовательности — степени числа 2, причем показатель возрастает от 0 с единичным шагом. Именно эта последовательность лежит в основе двоичной системы счисления.

Решение задачи состоит в том, чтобы, выстроив флаконы в ряд, взять 1 пилюлю из первого флакона, 2 пилюли из второго флакона, 4 пилюли из третьего флакона и т. д., затем собрать все отобранные пилюли и взвесить. Предположим, что пилюли оказались на 270 мг тяжелее, чем нужно. Так как каждая пилюля с повышенной дозой лекарства тяжелее нормальной на 10 мг, то, разделив 270 на 10, мы получим 27 — число более тяжелых пилюль.

Запишем число 27 в двоичной системе: 11011. Двоичные разряды, в которых стоят единицы, говорят нам, какие степени числа 2 в сумме дают двоичное число 11011 (или десятичное число 27): 1, 2, 8 и 16. Единицы стоят в первом, втором, четвертом и пятом двоичных разрядах. Следовательно, непригодные пилюли с повышенным содержанием лекарства находятся в первом, втором, четвертом и пятом флаконах.

Двоичная система счисления находит столь широкое применение именно потому, что каждое положительное целое число можно представить в виде суммы степеней числа 2 единственным способом. Без двоичной системы счисления в наши дни немыслима работа ЭВМ. Немалую роль двоичная система играет во многих областях прикладной математики. Почетное место отведено двоичной системе и в занимательной математике.

Вот простой карточный фокус, который позволит вам удивить и позабавить ваших друзей. Хотя внешне он ничем не напоминает задачу об отыскании флаконов с непригодными пилюлями, и задача, и фокус по существу «двоичны» — в основе их лежит двоичная система счисления.

Пусть кто-нибудь из зрителей тщательно перетасует колоду карт. Положив ее в карман, попросите вашего помощника назвать любое число от 1 до 15, после чего, сунув руку в карман, достаньте карты, значения которых в сумме равны названному числу (туз считается равным 1).

Секрет фокуса прост. Вы заранее кладете в карман туз, двойку, четверку и восьмерку. Определить на глаз недостачу четырех карт в колоде невозможно, и ваши зрители будут пребывать в уверенности, что вы попросили перетасовать полную колоду. Перетасованную колоду вы подкладываете под четыре карты, уже лежащие в кармане. После того как число названо, вы мысленно представляете его в виде суммы степеней числа 2 (например, если названо число 10, то вы мысленно разлагаете его в сумму 8 + 2=10) и, сунув руку в карман, достаете двойку и восьмерку.

На том же двоичном принципе построены и карточки «для чтения мыслей на расстоянии». На рис. 1 из гл. 3 показаны 6 карт, позволяющие безошибочно отгадывать любое задуманное число от 1 до 63. Попросите кого-нибудь, задумав любое число в этом диапазоне (например, свой возраст), отобрать и вручить вам все карточки, на которых оно встречается, и вы немедленно назовете задуманное число. Секрет этого фокуса также прост: вы просто суммируете степени числа 2, стоящие в левом верхнем углу каждой таблицы. Например, если были отобраны и вручены вам таблицы C и F , то вы суммируете числа 4 и 32 и узнаете, что было задумано число 36.

По какому принципу выбраны числа на каждой карточке? Каждое число, имеющее в двоичной записи единицу в первом разряде справа, заносится в таблицу A . Следовательно, в эту таблицу вписаны все нечетные числа от 1 до 63. В карточку B заносятся все числа, имеющие в двоичной записи единицу во втором разряде справа, в карточку C — все числа, имеющие единицу в третьем разряде справа и т. д. Заметим, что число 63 в двоичной системе записывается как 111111, то есть имеет единицы во всех шести разрядах, и поэтому встречается на всех шести карточках.

Иногда фокусники придают этому фокусу налет таинственности, окрашивая карточки в различные цвета и запоминая, какой цвет соответствует той или иной степени числа 2. Пусть, например, красная карточка означает 1, оранжевая — 2, желтая — 4, зеленая — 8, голубая — 16 и фиолетовая — 32 (мы выбрали 6 цветов радуги по порядку, пропустив синий). Фокусник становится в дальнем конце комнаты и просит кого-нибудь из зрителей отложить в сторону карточки, на которых встречается задуманное число. По цвету отложенных карточек фокусник без промедления может назвать задуманное число.

Однажды юная Глория из Арканзаса отправилась в Калифорнию. Ей необходимо было снять на неделю номер в гостинице.

Портье в гостинице встретил ее весьма нелюбезно.

Портье. Могу предложить только номер за 20 долларов в сутки. Плата наличными.

Глория. Простите, сэр, у меня нет при себе денег. Есть только этот золотой браслет. Каждое из его 7 звеньев стоит дороже 20 долларов.

Портье. Так и быть, давайте сюда ваш браслет.

Глория. Не торопитесь. Я попрошу какого-нибудь ювелира распилить браслет и буду отдавать вам по 1 звену в день, а к концу недели, когда мне пришлют из дому деньги, отдам браслет в починку.

После долгих споров портье согласился. Но перед Глорией встала задача: как распилить браслет?

Глория. Торопиться не следует. Ведь ювелир потребует с меня плату за каждое распиленное и вновь запаянное звено браслета.