Мартин Гарднер - Есть идея!

Действие рассказа происходит на острове, на который после кораблекрушения попадают 5 человек и 1 обезьяна. Первый день они собирают кокосовые орехи. Ночью один из людей просыпается и решает забрать причитающуюся ему долю орехов. Он раскладывает орехи на 5 одинаковых кучек, отдает лишний орех обезьяне и, спрятав свою долю, укладывается снова спать.

Вскоре просыпается другой товарищ по несчастью и проделывает то же самое: раскладывает орехи на 5 одинаковых кучек, отдает оставшийся орех обезьяне и, спрятав свою долю, укладывается снова спать. Затем по очереди просыпается третий, четвертый и пятый невольный обитатель острова, и каждый делает то же, что и первые два. Утром вся пятерка делит оставшиеся орехи на 5 равных частей. На этот раз ни одного лишнего ореха не остается.

Сколько кокосовых орехов было собрано первоначально?

Задача допускает бесконечно много решений. Наименьшее из них — 3121 орех. Решить задачу не очень просто.

Коль скоро мы заговорили о кокосовых орехах, я хочу предложить вам одну задачу, которую можно решить сразу. При расчистке джунглей было собрано 25 кокосовых орехов, обезьяна стащила все орехи, кроме 7, Сколько орехов осталось? Ответ: не 18.

Боб. Лохнесское чудовище имеет в длину 20 м и еще половину своей длины. Чему равна его длина?

Элен. Дай подумать. Двадцать и половина от двадцати — итого тридцать. Значит, лохнесское чудовище имеет в длину 30 м.

Боб. Не узнаю тебя, Элен! Твой ответ противоречит условию задачи, а ты этого не замечаешь. Как может лохнесское чудовище иметь в длину и 20 м и 30 м одновременно?

Элен. Ты прав, я ошиблась. Условие задачи означает, что длина лохнесского чудовища равна сумме 20 м и половины его длины. Теперь мне все стало ясно.

Чему, по-вашему, равна длина лохнесского чудовища?

По словам Боба, лохнесское чудовище имеет в длину 20 м и еще половину своей длины, то есть длина чудовища равна сумме 2 слагаемых: 20 м и половины длины чудовища. Разделите мысленно длину чудовища пополам. Если вся длина равна сумме 2 слагаемых, из которых одно равно половине длины, а другое 20 м, то на 20 м приходится другая половина длины. Следовательно, полная длина составляет 40 м.

Задача Боба допускает простое алгебраическое решение: если x — полная длина лохнесского чудовища, то

x = 20 + x /2.

Теперь вы убедились, что задача, предложенная Бобом, до смешного проста. Интересно, как быстро вам удастся справиться со следующим ее вариантом. Кирпич на одной чаше весов уравновешен на другой чаше ¾ кирпича и гирей в ¾ кг. Чему равна масса кирпича?

Задача о лохнесском чудовище показывает, как важно точно понять, что именно спрашивается, прежде чем пытаться ответить на вопрос. Если первая интерпретация задачи приводит к противоречию, то либо на вопрос невозможно ответить, либо вы неправильно поняли постановку задачи.

Однажды, гуляя по парку. Боб и Элен увидели школьный духовой оркестр, готовящийся к параду.

Оркестр был выстроен в колонну по четыре, а один парнишка, несчастный Спиро, замыкал шествие, бредя вне строя. Одинокая фигура, маячившая сзади, по мнению дирижера, портила общее впечатление от оркестра.

Чтобы избавиться от нее, дирижер приказал музыкантам перестроиться в колонну по три, но несчастный Спиро опять остался единственным замыкающим.

Даже когда музыканты разбились на пары, Спиро все равно остался без партнера.

Хотя это было не ее дело, Элен подошла к дирижеру.

Элен. Позвольте мне дать вам один совет?

Дирижер. Мне сейчас не до вас, милая девушка! И без того голова идет кругом.

Элен. Хоть вы и не очень вежливы, я все равно скажу вам, что нужно делать. Перестройте музыкантов в колонну по пять!

Боб. Я как раз собирался предложить то же самое!

Когда оркестр перестроили в колонну по пять, все шеренги оказались заполнены.

Сколько музыкантов было в оркестре?

Элен просто пересчитала всех музыкантов в оркестре и обнаружила, что число их кратно 5. Но как можете вы, не видя всего оркестра, определить, сколько в нем музыкантов?

Сделать это можно следующим образом. Пусть N — число музыкантов в оркестре. Мы знаем, что при делении на 2, 3 и 4 оно дает остаток 1 (живым воплощением остатка служит Спиро, в одиночестве марширующий вслед за оркестром). Наименьшее число, обладающее этим свойством, на 1 больше наименьшего общего кратного (НОК) чисел 2, 3 и 4, то есть числа 12. Рассмотрим теперь все числа, кратные 12. Увеличив любое из них на 1, мы получим число, которое при делении на 2, 3 и 4 дает остаток 1.

Когда оркестр перестраивается в колонну по 5, то остаток равен 0. Следовательно, N делится на б без остатка. Решением задачи служат числа, кратные б, которые встречаются в последовательности

13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97, 109, 121, 133, 145, …

Поскольку число 145 слишком велико для школьного оркестра, то N равно либо 85, либо 25. Имеющаяся у нас информация не позволяет отдать предпочтение какому-нибудь из этих двух чисел.

Хорошим вариантом предыдущей задачи может служить следующая задача. При перестроениях оркестра в колонну по два, три и четыре в последней шеренге каждый раз недостает одного человека, а при построении в колонну по пять все шеренги оказываются заполненными. Сколько музыкантов в оркестре? На этот раз мы должны выписать последовательность чисел, которые на 1 меньше кратных двенадцати и делятся на 5 без остатка: 35, 95, 155, …