Мартин Гарднер - Есть идея!

Каждому из 3 кандидатов на медаль проф. Ах надел красную шляпу.

Проф. Ах. Прошу всех открыть глаза. Пусть каждый из вас, увидев на ком-нибудь красную шляпу, поднимет руку. Первый, кто сможет определить, какого цвета шляпа у него на голове, получит медаль.

Все трое подняли руки. Через несколько минут Джон вскочил с места.

Джон. Ах, я знаю! На мне красная шляпа!

Джон. Если бы на мне была синяя шляпа, то Мери сразу бы догадалась, — что на ней красная шляпа, так как иначе нельзя было бы объяснить, почему Барбара подняла руку.

Джон. Барбара рассуждала бы так же, как Мери, и сразу догадалась бы, что на ней красная шляпа, так как иначе нельзя было бы объяснить, почему Мери подняла руку.

Джон. А поскольку ни Мери, ни Барбара не заявили о том, что знают, какого цвета их шляпы, то их молчание означает одно: красную шляпу они видят не только друг на друге, но и на мне.

Решить эту классическую логическую задачу-головоломку не составляет особого труда, если речь идет о 3 действующих лицах. Но предположим, что их не трое, а четверо, и у каждого на голове красная шляпа.

Как быть в этом случае?

Переход в этой задаче от 3 кандидатов на награду к 4 и последующее обобщение на случай произвольного числа кандидатов познакомит вас с весьма важным методом доказательства, известным под названием «метод математической индукции». Этот метод применим лишь в том случае, когда подлежащие доказательству утверждения можно упорядочить, как ступени лестницы. Вы доказываете, что всякое утверждение истинно, если истинно предыдущее, и проверяете, что первое утверждение истинно. Но коль скоро оно истинно, то истинны и все остальные утверждения: если вы можете ступить на первую ступень, то вам удастся подняться по лестнице сколь угодно высоко (или: если вы ступаете не на первую ступень, то вам удастся подняться или спуститься на любую другую ступень).

Предположим, что у проф. Ах особенно отличились и претендуют на награду 4 студента и что он надел им на головы красные шляпы. Все четверо подняли руки. Предположим, что один из них сумел догадаться, какого цвета шляпа у него на голове, чуть раньше других. Победитель (или победительница) рассуждает так:

— Предположим, что у меня на голове синяя шляпа. Тогда все три моих товарища видят, что она синяя. Значит, каждый из них видит по 2 красные шляпы и жаждет узнать, какого цвета шляпа на голове у него самого. Но именно в такой ситуации находились действующее лица в предыдущей задаче, когда ахову награду оспаривали лишь 3 кандидата. Один из них догадался, что у него на голове красная шляпа.

Но никто из моих соперников не заявляет, что у него на голове красная шляпа, хотя прошло уже достаточно много времени, чтобы каждый мог, не торопясь, тщательно обдумать свои умозаключения. Причина молчания может быть только одна: все они видят, что у меня на голове красная шляпа. Следовательно, мое исходное предположение ложно. Значит, у меня на голове красная шляпа.

Это рассуждение (принесшее своему автору заслуженную награду) допускает обобщение на случай n кандидатов. Если число претендентов на ахову награду равно 5, то самый умный из них увидит перед собой 4 красные шляпы и вскоре поймет, что любой из его соперников может рассуждать так, как рассуждал победитель в состязании 4 кандидатов, и, следовательно, определить цвет своей шляпы. А поскольку все соперники не торопятся заявлять, что у них на головах красные шляпы, то причина подобной сдержанности может быть только одна: все они видят перед собой по 4 красные шляпы. «Значит, — заключил свои рассуждения самый умный из 5 кандидатов, — у меня на голове должна быть красная шляпа». Аналогичные рассуждения применимы в случае любого числа претендентов на ахову награду. Самый умный из n кандидатов всегда может свести задачу к предыдущему случаю, который в свою очередь сводится к предыдущему и т. д., пока задача не сведется к уже решенной задаче о 3 претендентах на ахову награду.

В свази с рассмотрением задачи в общем случае возникает интересный вопрос относительно того, насколько хорошо она определена и не содержит ли она в своих условиях чрезмерный произвол, исключающий возможность однозначного ответа. При каких предположениях задача в общем случае допускает однозначный ответ? Обязательно ли предполагать, что быстрота, с которой соображает каждый из n претендентов на ахову награду, может служить его отличительным признаком, то есть всех претендентов можно упорядочить но быстроте, с которой они думают? Нужно ли предполагать, что с увеличением n возрастает продолжительность времени, в течение которого претендент на награду успевает прийти к заключению о цвете своей шляпы? Предположим, что число претендентов на ахову награду возросло до 100 человек. Верно ли утверждение о том, что по истечении достаточно продолжительной паузы самый умный из них заявит, что у него на голове красная шляпа, затем с некоторым запозданием к аналогичному выводу придет второй по сообразительности из претендентов, затем третий и так далее до тех пор, пока последний тугодум (из лучших студентов проф. Аха) не поймет, что у него на голове красная шляпа?

Классическая задача о шляпах (или колпаках) существует во множестве вариантов. Вот один из них, отчетливо показывающий, насколько усложняется задача, если шляпы на головах действующих лиц могут быть трех или более различных цветов. Предположим, что из 5 белых, 2 красных и 2 черных шляп выбраны какие-то 5 шляп и надеты на головы 5 людей. Если все шляпы белые, то каким образом один из великолепной пятерки, более сообразительный, чем остальные, догадается, что у него на голове белая шляпа?

Особым изяществом отличается следующий вариант исходной задачи с шляпами 2 цветов и 3 действующими лицами, позволяющий исключить все недомолвки и неоднозначности, присущие задаче в ее традиционной постановке. Предположим, что трое людей сидят на стульях в затылок друг другу и каждый смотрит только прямо перед собой. Сидящий сзади видит шляпы обоих людей, сидящих перед ним. Сидящий посредине видит шляпу только того, кто сидит перед ним, а сидящий впереди не видит перед собой ни одной шляпы. (Все трое как бы страдают прогрессирующей слепотой, причем сидящий сзади видит лучше двух остальных, а сидящий впереди полностью ослеп.)