Мартин Гарднер - Есть идея!

Мари. Не могу! Вы так умны и хороши собой, что я влюбилась в вас по уши.

Проф. Слог. Никакие объяснения в любви не помогут вам получить приз.

Мари. Я все равно получу его, так как справилась с заданием. Первая надпись палиндром, как и мое имя, она читается одинаково в обе стороны.

Проф. Слог. Очень хорошо, дорогая Мари. А что вы скажете об этой надписи? [6] Знание английского языка для выполнения этого задания не обязательно. — Прим. перев.

Мари. Позвольте взглянуть. Так! Это — почти палиндром, но не совсем. Минуточку! Поняла! Эта надпись читается одинаково в прямом и в перевернутом (вверх ногами или, если угодно, вниз головой) положении.

Проф. Слог. Вы снова правы, Мари! Переходим к последнему заданию.

Мари. Я заметила закономерность. Каждое слово в этой надписи на 1 букву длиннее предыдущего.

Проф. Слог. Великолепно! Вот еще 20 долларов, которые вы выиграли. Что вы собираетесь делать с этими деньгами?

Мари. Приглашу вас сегодня поужинать со мной, а затем покажу вам свою коллекцию словарей.

Проф. Слог. Согласен. До скорой встречи, Мари! А теперь, дорогие телезрители, пока наш следующий гость еще не пришел, мы воспользуемся свободной минутой, чтобы предложить вашему вниманию еще одну словесную задачку.

Проф. Слог. Какое слово из 5 букв все выпускники Гарвардского университета произносят плохо?

Тысячи замечательных палиндромов известны на всех основных языках. Придумать палиндром не так трудно, попробуйте и вы убедитесь в этом сами. Вот несколько известных примеров палиндромов на русском языке: «Кирилл лирик», «Ты сыт?», «Аргентина манит негра», «Я не реву — уверен я».

В классических палиндромах единицей служат буквы. Но можно составить и «крупноблочные» палиндромы, в которых единицами будут целые слова. Два замечательных примера таких палиндромов принадлежат Дж. А. Линдону:

1. «You can cage a swallow, can't you, but you can't swallow a cage, can you?» («Вы можете посадить ласточку в клетку, но проглотить клетку вы не можете, не так ли?»)

2. «Girl bathing on Bikini, eyeing boy, finds boy eyeing bikini on bathing girl» («Девушка, купающаяся на острове Бикини и украдкой поглядывающая на молодого человека, видит молодого человека, не отрывающего глаз от бикини на купающейся девушке»).

Существуют поэмы, которые читаются одинаково от начала к концу и от конца к началу либо по строкам, либо целиком.

Палиндромы — аналоги того, что математики называют двусторонней, или билатеральной, симметрией. Тела людей и многих животных обладают двусторонней симметрией. Многие творения человеческих рук также обладают двусторонней симметрией, например кресла, кофейные чашки и тысячи других предметов. Любые фигуры и тела, обладающие двусторонней симметрией, при отражении в зеркале переходят в себя. В этом и проявляется аналогия между билатеральной и палиндромной симметрией, при которой последовательность символов остается неизменной, если очередность символов изменить на противоположную.

Говоря о символах, мы имеем в виду не только буквы, но и цифры. Числовой палиндром — это число, которое читается одинаково слева направо и справа налево. Одна знаменитая гипотеза в теории чисел так и называется — «гипотеза о палиндромах». Возьмем любое число в десятичной системе счисления, вывернем его «наизнанку», записав от конца к началу, и сложим оба числа. То же самое проделаем с суммой и будем повторять всю процедуру до тех пор, пока не получим палиндром. Например, число 68 порождает палиндром в 3 шага:

Гипотеза о палиндромах состоит в том, что независимо от того, какое число выбрано, после конечного числа шагов вы непременно получите палиндром.

Никто не знает, верна ли эта гипотеза. Доказано, что для двоичной системы и всех систем счисления с основанием, равным любой степени двойки, эта гипотеза не верна. Для систем счисления с другими основаниями доказать гипотезу о палиндромах пока не удалось.

Наименьшее десятичное число, которое может служить контрпримером, опровергающим гипотезу о палиндромах, равно, по-видимому, 196.

Математики проделали на ЭВМ сотни тысяч шагов, но получить палиндром так и не удалось, хотя никем не доказано, что он никогда не появится.

Математики исследовали также простые числа-палиндромы (которые делятся на 1 и на самих себя). Многие считают, что существует бесконечно много простых чисел-палиндромов, но эта гипотеза также пока не доказана. Высказывалось предположение и о том, что существует бесконечно много таких пар чисел-палиндромов, как, например, 30103 и 30203, в которых средние цифры отличаются на 1, а все остальные цифры совпадают.

Простое число-палиндром должно иметь нечетное число знаков: каждое палиндромное число с четным числом знаков кратно 11 и, следовательно, не может быть простым. Можете ли вы доказать, что палиндромное число с четным числом знаков всегда делится на 11? (Указание: число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих в разрядах с четными номерами, и суммой цифр, стоящих в разрядах с нечетными номерами, кратна 11.)

Много палиндромов среди квадратов, например 11 × 11 = 121. Квадраты оказываются палиндромами гораздо чаще, чем выбранные наугад целые числа. То же можно сказать и о кубах. Более того, если куб — палиндром, то можно почти с уверенностью сказать, что и кубический корень из него также будет палиндромом (например, 11 × 11 × 11 = 1331). Поиск палиндромов среди четвертых степеней, проведенный с помощью ЭВМ, пока не дал ни одного палиндрома, корень четвертой степени из которого не был бы также палиндромом. Поиск палиндромов среди пятых степеней пока оказался безуспешным. Высказана гипотеза, согласно которой не существует чисел-палиндромов вида x k при k > 4.