Абрам Фет - Катастрофы в природе и обществе

Подвергнем теперь кривую M = f(K) рисунка 1 преобразованию сдвига, о котором говорится в предыдущей теореме. Как легко убедиться, получается левая кривая рисунка 4 (рассматриваемая лишь при положительных значениях K). Бросается в глаза, что эта фазовая кривая имеет устойчивую точку равновесия 1, на пересечении с биссектрисой: вспомните исследование фазовых кривых в главе 1! Впрочем, мы займемся таким исследованием дальше.

Рис.4

Рассмотрим теперь случай, когда предприятие производит равномерные выбросы все время. В этом случае надо знать, кроме фазового портрета деструкции (рис.1), еще концентрацию сразу же по истечении первого года работы предприятия, которую мы обозначим через d 1. Ее можно приближенно отождествить со "среднегодовым выбросом" предприятия, то есть с суммой концентраций, возникающих сразу же после небольших периодов работы предприятия. Такое отождествление неточно, так как к концу года часть более ранних выбросов за этот год успевает разрушиться. Все же мы будем условно называть эту величину d 1"среднегодовым выбросом", имея в виду предыдущее определение.

Пусть теперь в начале года концентрация, оставшаяся от всей предыдущей деятельности предприятия, равна x, Если бы в течение последующего года наблюдения не было дальнейших выбросов, то в конце этого года, по определению фазовой функции однократного загрязнения, мы имели бы концентрацию f(x). Но к этой величине прибавляется концентрация d 1от непрерывной работы предприятия в течение года наблюдения, так что в конце года пролучается концентрация f(x) + d 1. Это и есть, по определению, значение фазовой функции непрерывного загрязнения g(x) – концентрация, остающаяся в конце года такого загрязнения, если в начале его она была равна x. Итак, доказано следующее:

Фазовая функция непрерывного загрязнения задается выражением

g(K) = f(K) + d 1,

где f(K) – фазовая функция деструкции в рассматриваемой среде,

а d 1– среднегодовой выброс предприятия.

Каждое значение функции g больше соответствующего значения функции f на одно и то же число d 1, что соответствует "подъему" графика на величину d 1(рис.5).

Рис.5

Если фазовая кривая деструкции от однократного загрязнения имеет вид, изображенный на рисунке 1 (о чем имеются убедительные данные), то, подняв этот график на величину d 1, мы получим фазовую кривую непрерывного загрязнения, которая будет изучена дальше.

Как мы видели, в условиях постоянно действующего предприятия фазовый портрет концентрации загрязнения получается из фазового портрета однократного загрязнения одной из двух процедур: в случае периодического загрязнения – сдвигом влево на d 0, в случае непрерывного загрязнения – подъемом вверх на d1. Результаты, которые получаются для фазовой функции g(x), в обоих случаях сходны. Мы проведем исследование, для определенности, во втором случае, предоставив читателю рассмотреть аналогичным образом первый.

При подъеме на d 1левый конец кривой M = f(K), находящийся в начале координат, поднимается в точку (0,d 1) и оказывается таким образом выше биссектрисы координатного угла. С другой стороны, при больших значениях K кривая M = f(K) совпадает с прямой M = c 1K, где 0 < c 1< 1. Следовательно, наклон этой прямой к оси K меньше 450, и эта прямая, а вместе с ней и фазовая кривая при больши'х K, лежит ниже биссектрисы. Для промежуточных значений K возможны разные случаи.

(1) Кривая M = f(K) + d 1пересекает биссектрису в единственной точке 1 (рис.6) в направлении сверху вниз. Из прямого геометрического рассмотрения рисунка 1 ясно, что так обстоит дело при не слишком больших значениях d 1, когда точки кривой, далекие от биссектрисы в начале подъема, не успевают до нее подняться. При этом получается верхняя кривая, изображенная на рисунке 6.

Прием отражения в биссектрисе, выработанный в главе 1, показывает, что на этой кривой есть единственная точка устойчивого равновесия – точка 1; обозначим ее абсциссу через K 1. Точка фазовой кривой P 0c абсциссой K 0при K 0< K 1движется вправо, и через некоторое число шагов, соответствующих в нашей условной хронологии годам, подойдет сколь угодно близко к точке 1. Если же исходное значение K 0> K 1, то точка фазовой кривой движется влево, к той же точке 1. Итак, точка 1 изображает состояние среды с установившейся концентрацией загрязнения K 1. Поскольку фазовая кривая больше нигде не пересекает биссектрисы, других точек устойчивой концентрации нет. Насколько велика концентрация K 1, зависит от формы кривой деструкции M = f(K) и от значения среднегодовой концентрации d 1. По этим данным, как мы увидим, можно заранее предсказать устойчивую концентрацию K 1, а, следовательно, решить, будет ли терпимо предприятие с таким загрязнением, и если надо, отказаться от его постройки или закрыть его.

Рис.6

(2) Кривая M = f(K) + d 1пересекает биссектрису в трех точках 1, 2, 3. Это происходит при бо'льших значениях d 1: при возрастании d1 кривая M = f(K) + d 1поднимается, и при некотором значении d 1= d 1aее выпуклая часть касается биссектрисы, после чего часть этой кривой поднимается над биссектрисой, как это видно на рисунке 7 (верхняя кривая). Мы будем называть число d 1aпервым критическим значением. Поскольку при больших значениях K эта кривая параллельна прямой M = c 1K, образующей с осью K угол меньше 45 0, то она в конце концов уходит под биссектрису. Тогда кривая M = g(K) в самом деле пересекает биссектрису в трех точках, которые мы и обозначили через 1, 2, 3.

Рис.7

(3) Кривая M = f(K) + d 1, при еще бо'льших значениях d 1, пересекает биссектрису опять в единственной точке 3, а точка 1 исчезает (рис.8). В самом деле, если дальше увеличивать d 1, то при некотором значении d = d 1b(которое мы назовем вторым критическим значением) вогнутая часть кривой касается биссектрисы, а затем поднимается выше нее, так что точки пересечения 1 и 2 исчезают. Но точка пересечения 3 остается, так как при больших значениях K кривая по-прежнему опускается ниже биссектрисы. Концентрация загрязнения K 3, равная абсциссе точки 3, в этом случае еще выше, чем в случае (2). Для большинства загрязнителей такой уровень концентрации недопустим.

Рис.8

Важнейшее практическое значение имеет точка устойчивого равновесия 1 – режим, в котором работают все "нормальные" (не экологически преступные) предприятия. Для этой точки надо найти концентрацию загрязнения K 1– ее абсциссу.

Поскольку все наши кривые – эмпирические, требуемое значение K 1находится графически. Это делается, как показано на рисунке 9. Нижняя кривая на этом рисунке – фазовый портрет деструкции М = f(К), верхняя кривая – фазовый портрет непрерывного загрязнения М = g(К), получаемый из предыдущего подъемом на d 1. Отложим по оси М вниз от начала координат отрезок ОP 0длины d 1, затем проведем через точку Р 0прямую, параллельную биссектрисе, до пересечения с нижней кривой в точке Р 1. Тогда вертикальная прямая, проходящая через Р 1, пересекает биссектрису в точке, лежащей выше точки Р 1на d 1и, следовательно, принадлежащей верхней кривой; но поскольку точка пересечения верхней кривой с биссектрисой есть не что иное, как точка равновесия 1 (см. рис.6), то мы нашли точку 1. Поэтому абсцисса точки Р 1, которую мы обозначим через К 1, равна ординате точки 1, а эта последняя состоит из отрезка К 1Р 1длины f(К 1) и отрезка Р 11 длины d 11 – то есть K 1= f(K 1) + d 1, иначе говоря, K 1есть корень уравнения K = f(K) + d 1.