Абрам Фет - Катастрофы в природе и обществе

При таком обмене участков граница между К и L, если смотреть со стороны К, "отступает" вблизи точки p, уступая участок а зоны К, и "наступает" вблизи точки p', захватывая участок а' зоны L. Итак, если на граничной кривой найдутся точки с координатами, удовлетворяющими неравенству (α), то можно уменьшить сумму всех затрат, причем рынок по-прежнему остается обеспеченным продукцией того и другого вида, поскольку это условие соблюдалось в описанных выше обменах.

Но оказывается, что сумму S I+ S IIможно уменьшить и в том случае, когда для некоторой пар точек p, p' граничной кривой выполняется противоположное неравенство

В самом деле, рассмотрим рисунок 5б, где b – "энергетический" участок, примыкающий к границе со стороны L, а b' – "сельскохозяйственный" участок, примыкающий к границе со стороны К. Произведем, аналогично предыдущему, обмен участка b' на участок b. При этом в участке b' S 1= Q 1/П 1', S 2= Q 2/П 2', а в участке b S 1= Q 1/П 1, S 2= Q 2/П 2(проверьте эти равенства!). Поэтому приращение S 1при обмене b' на b равно

а приращение

Оба последние выражения отличаются лишь знаками от скобок формулы &(beta;); следовательно, для обмена участков b, b' сумма

ΔS 1+ ΔS 2< 0.

Итак, если на границе найдется пара точек, для которых выполнено неравенство (beta;), то опять можно уменьшить полную сумму затрат S I+ S II, сдвинув границу, как указано на рисунке 5б! (Проверьте, где граница отступает и где наступает).

Что же означает полученный результат? Если для любой пары точек границы невозможны оба неравенства (α) и (beta;), это значит, что для любой пары граничных точек выражение в левых частях – то есть сумма ΔS 1+ ΔS 2– равна нулю. В координатах это значит, что для любых двух точек p, p' граничной кривой справедливо равенство

Как мы увидим, это равенство позволяет найти форму кривой, разделяющей зоны конкурирующих видов природопользования. Но прежде всего из него видно, что на границе между зонами уже невозможны никакие обмены: граница устанавливается тогда, когда все выгодные сделки между обеими сторонами уже состоялись! Равенство (γ) не позволяет дальше уменьшить общую сумму всех затрат S I+ S II, и можно доказать, что в действительности мы нашли распределение долин между конкурентами, делающее эту сумму минимальной [Примененный метод иллюстрирует возможности вариационного исчисления . Мы сделали ряд упрощающих предположений, позволивших обойтись средствами школьной алгебры. В более реалистических задачах процедура "варьирования" граничной кривой, изображенная на рисунке 5, требует применения высшей математики]

Это значит, что стихийная деловая активность свободного рынка, описанная выше на примере обменов долинами, приводит к тому же результату, что и решение задачи оптимизации, как будто поставленной в интересах общества в целом! Это и есть то, что мы имели в виду в главе 5, говоря, что свободный рынок в сущности решает ту же задачу, что и действительно оптимальное планирование. Задолго до возникновения современных методов математической экономики это понял основоположник экономической науки Адам Смит. Он пришел – интуитивным путем – к только что высказанному открытию, выражающему, как говорили его современники, "оптимизм" Адама Смита: казалось, что "невидимая рука" рынка невольно направляет к общему благу "эгоистическую" деятельность отдельных производителей, каждый из которых думает только о собственной выгоде. Здесь нет никакого парадокса: эта их деятельность порождает конкуренцию, мобилизующую энергию личного интереса. Иное дело, как этот личный интерес отражается на личности этих производителей, и какое общество может отсюда произойти. Адам Смит, бывший не только экономистом, но и философом, понимал это гораздо лучше его последователей, "идеологов" свободного рынка. Он утверждал лишь, что свободный рынок обеспечивает наилучшую производительность общественного труда, создавая "богатство наций". В отношении распределения и использования этого богатства он вовсе не был "оптимистом".

Возникает вопрос, почему бы, в самом деле, не заменить свободный рынок (к тому же – все менее свободный в наши дни) прямым оптимальным планированием? К сожалению, действительно оптимальное планирование в масштабах больших хозяйственных организмов представляет трудности, далеко превосходившие понимание бравшихся за него дилетантов. Эти трудности связаны и с навыками мышления и поведения людей, которые очень трудно планировать. Приходится признать, что в обозримом будущем "оптимизировать" народное хозяйство будет по-прежнему рынок.

Это вовсе не значит, что методы математической оптимизации не нужны. Напротив, они дают ответы на очень важные, хотя и частные вопросы – столь важные, что без помощи этих методов человечество вряд ли сможет выжить в техническом мире, созданном им самим.

Нам осталось определить точную форму кривой, разделяющей области конкурентов К и L. Эта кривая оказывается гиперболой , может быть, известной читателю из школьного курса, где она встречается при исследовании элементарных функций. Окончательное решение поставленной нами задачи оптимизации видно на рисунке 6.

Рис.6

Для тех, кто не страшится простейших выкладок аналитической геометрии, приведем доказательство, что мы действительно получили гиперболу.

Уравнение (γ) содержит координаты двух точек, лежащих на искомой кривой – p(П 1, П 2) и p'(П 1', П 2') (тогда как Q 1и Q 2– постоянные, задающие производительность "долин"), и при любом выборе

этих точек должно выполняться равенство . Фиксируем точку p' (то есть ее координаты П 1', П 2'), а точку p заставим пробегать граничную кривую. Тогда координаты П 1,

П 2точки p ("текущие координаты" на кривой, как говорят в аналитической геометрии) удовлетворяют уравнению , где все остальные буквы надо считать постоянными. Перепишем это уравнение в виде

и обозначим правую часть через а, П 1через x, П 2через y. Тогда имеем

или

Q 2x - Q 1y = axy

Чтобы упростить это уравнение, сдвинем координатные оси x,y на расстояния x 0, y 0:

x = x 0+ x', y = y 0+ y',

где x , y – координаты точки p в новых осях. Имеем

Q 2x' - Q 1y' + Q 2x 0- Q 1y 0= a(x' + x 0)(y' + y 0),

ax'y' + x'(ay 0- Q 2) + y'(ax 0- Q 1) = Q 2x 0- Q 1y 0- ax 0y 0.

Подберем сдвиги x 0,y 0так, чтобы скобки слева обратились в нуль, подставим эти числа в правую часть и обозначим полученное число через ac. Сокращая на а, получаем уравнение гиперболы:

x'y' = c (или y' = c / x' ).

Это и есть искомая кривая, делящая правый верхний угол на области L,K. Гипербола не может пересекать границы областей А и В, так как по обе стороны ее лежат долины разного назначения, а в областях А и В – только одного (сельское хозяйство в В, гидростроительство в А ).Следовательно, она проходит через угловую точку прямоугольника С.