Шинтан Яу - Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Эта не разрешенная до конца проблема подводит нас ко второму, также нерешенному вопросу, впервые поставленному Ридом в 1987 году: существует ли способ, с помощью которого можно связать все многообразия Калаби-Яу? Или в постановке Рида: «Все эти разновидности Калаби-Яу обладают всеми видами топологических характеристик. Но если посмотреть на проблему шире, то можно заметить, что все это, возможно, одно и то же. Конечно, это безумная идея, которая, вероятно, неверна. Тем не менее…» Фактически, Рид считал идею настолько странной, что он никогда не называл ее гипотезой, предпочитая говорить вместо этого «фантазия». Но он все еще верит, что кто-то, может быть, докажет ее. [194] Miles Reid (University of Warwick), interview with author, August 12, 2007.

Рид допускал, что все многообразия Калаби-Яу можно связать посредством чего-то, названного им конифолдным переходом . Идея, разработанная в 1980-е годы математиками Хербом Клеменсом из Университета Юты и Робертом Фридманом из Колумбийского университета, описывает, что происходит с многообразиями Калаби-Яу при перемещении их через особый вид сингулярности. Как всегда, концепцию легче показать на двухмерном торе. Вспомним, что тор всегда можно представить как множество окружностей, присоединенных к окружности, представляющей дырку. Теперь возьмем одну из множества окружностей и сожмем ее в точку. Мы получим сингулярность, потому что любое другое место на поверхности является гладким. Итак, на этом крошечном участке, так называемой конифолдной сингулярности, два маленьких конуса сходятся вместе. Далее вы должны проделать операцию, которую математики называют хирургической и которая включает вырезание проблемной точки и замену ее двумя другими точками. Затем мы можем разделить эти две точки, разведя их так, чтобы получилась фигура, имеющая форму рогалика. Далее, мы изменим топологию рогалика, превратив его в топологический эквивалент — сферу. И на этом не будем останавливаться. Предположим, что на следующем этапе мы вытягиваем сферу так, что она снова становится похожей на рогалик. Затем мы соединяем концы рогалика с получением тора, но при этом дополнительно перекручиваем сферу. Таким образом, мы получаем тор с другой топологией и двумя дырками вместо одной. Если мы будем продолжать этот процесс неопределенно долгое время, включая дополнительные перекручивания или дырки, то мы, в конце концов, получим все возможные двухмерные торы. Следовательно, конифолдный переход представляет собой способ связывания топологически разных торов через промежуточную форму (в нашем случае сферу) и эта общая процедура работает и для других нетривиальных видов многообразий Калаби-Яу.

Рис. 10.5.Конифолдный переход представляет собой процесс изменения топологии. В этом сильно упрощенном примере мы начинаем с бублика, сделанного из маленьких окружностей, и сжимаем одну из них в точку. Эта точка представляет собой вид сингулярности, где две формы, напоминающие конусы, сходятся вместе. Конусовидная сингулярность этого рода называется конифолд . Посредством математической версии хирургической операции мы заменяем эту сингулярную точку двумя точками и затем разводим их в стороны, чтобы бублик превратился в рогалик. Затем мы расширяем рогалик, чтобы получить объект, подобный сфере. Таким образом, мы перешли от бублика к топологически другому объекту — сфере

Рис. 10.6.Здесь представлен другой способ конифолдного перехода. Мы начинаем наши действия с многообразия Калаби-Яу, расположенного слева. Это шестимерный объект, потому что он имеет пятимерную основу, будучи декартовым произведением двухмерной сферы (S 2) и трехмерной сферы (S 3), плюс одно дополнительное измерение для высоты. Эта поверхность Калаби-Яу — элегантная и гладкая, потому что на вершине находится двухмерная сфера (S 2). Если сжать поверхность до точки, то мы получим промежуточное изображение — пирамиду. Точка на самом верху пирамиды представляет собой сингулярность — конифолд. Если мы выровняем верхушку, раздув точку в трехмерную сферу (S 3), а не в двухмерную (S 2), с которой мы начали, то мы придем к третьей модели — многообразию М. Суть идеи в том, что конифолдная сингулярность служит своего рода мостиком от одного многообразия Калаби-Яу к другому (перенесено, с разрешения, с рисунка Тристана Хабша)

Шестимерные многообразия Калаби-Яу не так просты. На нашем рисунке конифолдного перехода, предложенного Клеменсом, вместо сжатия окружности до точки мы сжали двухмерную сферу. Мы допускаем, что каждое компактное многообразие Калаби-Яу имеет по крайней мере одну двухмерную сферу особого рода, расположенную внутри. Японский математик Сигефуми Мори доказал, что кэлеровы многообразия с позитивной кривизной Риччи имеют, по крайней мере, одну такую подповерхность, и мы ожидаем, что это условие также применимо к многообразиям Калаби-Яу с риччи-плоской метрикой. Каждое известное нам многообразие Калаби-Яу имеет двухмерную сферу, так что наша интуиция нас не подвела. Но у нас все еще нет доказательства для многообразий Калаби-Яу с риччи-плоской метрикой. После сжатия нашей двухмерной сферы в точку мы можем заменить эту точку сжатой трехмерной сферой, которую затем можно снова расширить.

Если наше предыдущее допущение верно, то после такой операции многообразие больше не является кэлеровым, поскольку оно больше не имеет двухмерной сферы и, следовательно, не может быть многообразием Калаби-Яу. Это уже что-то другое — не-кэлерово многообразие. Продолжая конифолдный переход, мы можем взять не-кэлерово многообразие, вставить другую двухмерную сферу (где мы предварительно вставили трехмерную сферу) и получить другое многообразие Калаби-Яу.

Хотя не Рид придумал конифолдный переход, он первым увидел, как его можно использовать для установления связи между всеми многообразиями Калаби-Яу. Важно, что конифолдный переход состоит в получении из одной поверхности Калаби-Яу другой, причем геометрия должна пройти через промежуточную стадию, на которой переходная форма представляет собой не-кэлерово многообразие. Неужели все не-кэлеровы многообразия связаны в том смысле, что из одного можно вылепить другое посредством сжатия, растяжения или вытягивания? Да, действительно, в этом и есть суть гипотезы Рида. Представьте себе гигантский кусок швейцарского сыра с бесчисленными крошечными дырками, или пузырьками. Алан Адамс говорит, что если вы живете в одном пузырьке, то вы не уйдете далеко, не столкнувшись с границей. «Но если вы не возражаете идти через сыр, то сможете попасть из одного пузырька в другой. Рид выдвинул гипотезу, что конифолдный переход может провести вас через сыр (не-кэлерову часть) в другой пузырек», кэлерову часть, которая и представляет собой многообразие Калаби-Яу. [195] Allan Adams (MIT), interview with author, October 31, 2008.