Г. Басина - Синергетика. Основы методологии

Величина X i,i=1,…, n, описывает изменение i-й координаты. X, может включать несколько переменных, характеризующих действие этой координаты, а возможно, и целого континуума. Эти координаты собраны в вектор состояния Х(Х 1, Х 2, …).

Состояние изучаемого объекта в данный момент времени может быть задано точкой в некотором множестве X, в частности в n-мерном многообразии, В этом случае изучаемому объекту соответствует некоторая n-мерная динамическая система, а множество всех точек, соответствующих различным состояниям, называется n-мерным фазовым пространством. Совокупность состояний данной системы в различные моменты времени формирует одномерное пространство (линию), называемую фазовой траекторией системы. Если фазовое пространство системы — n-мерное гладкое многообразие, то фазовая траектория системы гладкая кривая (за исключением некоторых особых точек) и для её описания (а также для описания пучка траекторий, начинающихся из различных точек фазового пространства) может быть использован аппарат системы дифференциальных уравнений dX/dt = f(X,t). Здесь dX/dt — производная вектора X по времени.

Пусть мы имеем какое-либо решение системы дифференциальных уравнений в виде Х(t) = Ф(Х 0, t), где Х(t) — значения координат фазовой траектории, проходящей через точку Х 0в момент времени t 0. В принципе, эта система уравнений может быть разрешена относительно t: t = Ф -1(Х, Х 0).

Предположим, что мы знаем состояние динамической системы в момент T n, соответствующее точке Х n, и хотим определить состояние той же системы X n+1в момент Tn+1. Тогда, воспользовавшись предыдущими формулами, получим X n+1= Ф(Х 0, Т n+1) = Ф(Х 0,T n+ (ΔT) n) = Ф{X 0, [Ф -1(X 0, Х n) + (ΔT n]}.

Введем понятие оператора F, определяющего изменение системы Х во времени: Х n+1= F(X n). Оператор F порождает итерационный процесс и указывает преобразование состояния динамической системы Х n в момент времени T nв её состояние Х n+1в момент времени T n+1.

В принципе, оператор F может быть введён в более общем случае, когда непрерывная зависимость от времени либо отсутствует вовсе, либо не может быть определена.

Основной идеей Г. Хакена, являющейся одной из основополагающих в Синергетике, является идея выделения среди обобщенных координат сложной системы нескольких наименее устойчивых мод, названных им главными модами или параметрами порядка, неустойчивость которых приводит к качественному изменению состояния всей системы, и таких координат, которые сами мало изменяются, однако которых изменяет характер устойчивости состояния основных мод. Они были названы управляющими параметрами.

Теория нелинейных динамических систем в настоящее время интенсивно развивается. Предложены различные формы классификации систем и их математических моделей. Введена терминология, которая активно внедряется в практику теоретических и экспериментальных исследований. Понятия фазового пространства, стационарной точки, цикла, тора, аттрактора, бифуркации, сепаратрисы уже давно вошли в обиход тех, кто использует результаты качественного анализа и расчётов параметров модельных динамических систем для исследования реальных явлений.

В настоящее время бурно развивается теория «странных» непериодических аттракторов, породившая новую терминологию: каскад бифуркаций, числа Фейгенбаума, фрактальная геометрия, множество Мандельброта, показатели Ляпунова.

Рассматриваются различные сценарии перехода от регулярного движения системы к детерминированному хаосу:

1. через каскад бифуркаций удвоения периода устойчивых циклов Фейгенбаума;

2. через разрушение неустойчивого трёхмерного тора с образованием странного аттрактора по сценарию Рюэля-Такенса;

3. через явление перемежаемости (сценарий Помо-Маннервиля).

Разработаны математические методы и алгоритмы, позволяющие говорить о становлении нового направления науки, которое в настоящее время называется «теорией детерминированного хаоса», и применять их при исследовании тех объектов, которые могут быть описаны с помощью математических моделей динамических систем.

Н. А. Магницким и С. В. Сидоровым предложена новая теория динамического хаоса в нелинейных диссипативных системах, утверждающая существование единственного универсального сценария перехода к хаосу и рождения сингулярных аттракторов в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений.

Особо следует выделить анализ эргодических свойств динамической системы, указывающих на возможность неоднозначного предсказания её будущего поведения даже для случая динамических систем, описываемых детерминированными уравнениями.

Всякая самоорганизующаяся система является открытой системой, обменивающейся с окружающей средой (полем) материей, энергией и информацией. Этот обмен может происходить непрерывно и дискретно. Взаимодействие с внешней средой может способствовать как сохранению структуры, так и её разрушению. Поэтому адекватное и полное описание самоорганизующихся систем возможно лишь совместно с окружающей средой — полем, в котором существует система.

Поле системы может также рассматриваться как новая система. В частности, для него может быть выбран параметр целого и выполнен эмпирический анализ его динамического изменения от времени. Поле может во многих случаях определять управляющие параметры системы.

Введение при анализе взаимодействия системы и поля времени как основного параметра позволяет обратить внимание на одну очень важную особенность взаимодействия структуры и ее поля — на волновой характер выделяемых нами из окружающей природы структур.

Более детальное качественное и количественное исследование полей в большинстве случаев, в отличие от исследования отдельной структуры или системы должно проводиться не в рамках конечномерных, а в рамках континуальных моделей, то есть для описания поля должен быть использован глубоко развитый аппарат линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и связанных с ними бесконечномерных математических групп преобразований, а также конечно-разностных систем уравнений.

Однако прямое получение решений этих уравнений для данной конкретной системы на первом этапе исследований во многих случаях оказывается нецелесообразным, а иногда и невозможным, ввиду трудностей, связанных с построением системы дифференциальных уравнений или конечноразностных итерационных процессов.