Алексей Шилейко - Информация или интуиция?

Мы с вами достаточно подготовлены, чтобы решить первую задачу кавалера де Мере. Итак, сколько раз надо метнуть две кости, чтобы можно было надеяться на выпадание 12 очков?На первый взгляд задача кажется очень простой (ее решил сам кавалер де Мере). Но на деле это не так. Вся загвоздка в том, как понимать слово «надеяться». Начнем рассуждать так, как мы это делали уже не раз. Две игральные кости могут упасть на стол 36 различными способами: 1 и 1, 1 и 2, и т. д. Поскольку мы считаем кости правильными, то у нас нет никаких оснований предпочесть какой-нибудь один или группу способов получить 12 очков, то есть 6 и 6 может образоваться одним-единственным способом. Отсюда мы приходим к заключению, что вероятность выпадания 12 очков равна 1/36.О чем это говорит? Ровным счетом ни о чем. Бросьте кости один раз, и у вас либо выпадут 12 очков, либо нет. (Если выпадет с первого раза, в этом случае вы можете наделить кости (или себя!) свойством иметь интуицию.) Будем, однако, рассуждать дальше. Число способов не получить 12 очков равно, очевидно, 35, а вероятность не получить 12 очков равна 35/з6. Бросаем кости 36 раз подряд. Вероятность того, что и в этом случае мы не получим 12 очков, равна, (35/з6)36~0,36. Тех, кому неясно, почему так получилось, просим посчитать число способов, которыми могут упасть две кости при 36-кратном бросании. Вероятность того, что при 36-кратном бросании выпадет 12 очков, равно 1 — 0,36 = 0,64,Если провести, скажем, сто серий по 36 бросаний в каждой, то, как нам говорит проведенный выше расчет, примерно в 64 сериях из ста с большой степенью вероятности можно ожидать однократное выпадание 12 очков. Только что сказанное есть факт, получаемый с помощью науки, называемой теорией вероятностей. А вот можно ли в таких случаях надеяться — это уж пусть кавалер де Мере решает для себя сам. Мы не будем ему в этом помогать, а удовлетворимся тем, что мы заодно ответили на такой вопрос: вероятность 1/36— это много или мало?Теперь мы знаем: если вероятность некоторого события равна 1/36, то при 3600-кратном повторении ситуации (3600 = 100-36), вызывающей появление данного события, «можно надеяться», что это событие совершится около 64 раз. Но может и не совершиться ни разу.Никаких гарантий на этот счет теория вероятностей не дает.Обычно специалисты по теории вероятностей рассуждают так. Мол, основное назначение теории вероятностей состоит в том, чтобы по известным вероятностям простых событий (предполагается, что вычислить эти вероятности достаточно просто) точно вычислять вероятности сложных событий.Все это совершенно справедливо. Теория вероятностей есть раздел математики, и, если так можно выразиться, внутри этого раздела все утверждения отвечают требованиям математической строгости. И действительно, теория вероятностей позволит определить, к примеру, вероятность аварии самолета, если известны вероятности выходов из строя каждой из нескольких десятков тысяч составляющих этот самолет Деталей. Еще раз повторяем — расчет можно выполнять совершенно точно, но при этом остаются два «но». Во-первых, мы никогда не будем знать точно вероятность для каждой из деталей, а во-вторых, даже зная вероятность аварии самолета (пусть она равна, скажем, 0,0001 — это очень малая вероятность), мы все же ничего не сможем сказать в ответ на вопрос: будет иметь место авария в данном рейсе или нет? Здесь та же самая ситуация, что и со стократным бросанием монеты.Что же это за наука такая, скажете вы, результаты которой, по существу, ничего не означают?Столь категорическое утверждение, конечно, не будет правильным. С помощью теории вероятностей уже было решено и ежедневно решается множество задач, в том числе имеющих огромное значение для науки и практики.Но справедливо и то, что в ряду других математических дисциплин теория вероятностей, прямо скажем, отличается большим своеобразием.Вернемся, однако, к самой теории и обсудим подробнее вторую задачу кавалера де Мере. Решение этой задачи, найденное самим Б. Паскалем, мы уже приводили раньше. Но в данном случае нас интересует не решение, а вообще правомочность постановки подобных задач. Вторая задача тем и отличается от первой, что в известной степени она иллюстрирует применение методов теории вероятностей к некоторой жизненной ситуации.Сформулируем ее для себя следующим образом: как справедливо разделить ставку, если игра не закончена, но можно вычислить вероятности выигрыша для каждого из игроков? Главный вопрос, на наш взгляд, состоит именно в том, можно ли говорить вообще о справедливом дележе, если игра не закончена? Кстати, совсем необязательно играть. Можно поставить вопрос шире. Как соотносятся между собой категории справедливости в общежитейском понимании этого слова и категория вероятности?Постараемся показать, что вопрос этот отнюдь не праздный.Все азартные (а в общем-то, и необязательно азартные) игры можно разделить на два класса. К первому классу отнесем игры, в которых вероятность выигрыша перед началом игры одна и та же для каждого игрока. (Правильно говорить не о вероятности, а о математическом ожидании выигрыша, но мы с вами не знаем, что это такое.) Ко второму классу отнесем игры, не обладающие этим свойством.Рассмотрим сначала игры первого класса. Пусть, например, два игрока играют в орлянку. Доказано, что если монета правильная и если ни один из игроков не делает явных ошибок, то вероятность выигрыша для каждого приближается к нулю по мере увеличения количества бросаний. (Ясно, что при одном-единственном бросании один из партнеров должен выиграть и, следовательно, другой — проиграть.) Спрашивается, зачем вообще начинать игру и тратить на это время, если заведомо известно, что вероятность выигрыша (кстати, и проигрыша!) равна нулю?Примером игр второго класса может служить рулетка. Здесь имеется заведомо отличная от нуля вероятность выигрыша для одного из участников, а именно хозяина рулетки — крупье — и соответственно, отличная от нуля вероятность проигрыша для всех остальных участников. Становится совсем непонятным, зачем начинать играть в рулетку и подобные игры, если заведомо известно, что имеется отличная от нуля вероятность проиграть?Все дело в том, что игрок в азартные игры рассчитывает именно на отклонение частоты событий от- их вероятности. Вспомним, что у К. Пирсона при 24 000 бросаний монеты герб выпал 12012 раз. Если представить себе двух игроков, один из которых ставит всегда на герб, а второй — всегда на решку, то именно эти 12 лишних гербов и составят чистый выигрыш одного из игроков. Остальные 23 988 бросаний в известном смысле будут совершены впустую.

Значит ли все сказанное, что теория вероятностей неприменима к задачам о справедливом разделе? -Нет, это означает гораздо больше. Понятие вероятности применительно к одиночным событиям вообще не имеет смысла. Мы уже знаем достаточно много, чтобы прийти к такому выводу. Только что высказанное утверждение трудно принять; ведь в повседневной жизни мы привыкли, часто даже подсознательно, оценивать вероятности тех или иных имеющих к нам отношение событий и принимать решения на основе этих оценок. И все же это утверждение справедливо. Давайте порассуждаем еще немного’.Вот перед нами монета и игральная кость. Пусть некто подбросит монету, и у него выпал герб. Это не производит на нас никакого впечатления. Должно было выпасть одно из двух: или герб, или решка — причем мы хорошо знаем, что оба эти события имеют одинаковую вероятность наступить. Выпадание двух гербов подряд тоже в общем-то оставит нас равнодушными: мы знаем, что так случается, и довольно часто.Возьмем теперь игральную кость. Пусть некто бросает ее, и с первого же раза выпадает шестерка. Если он к тому же предварительно заключил пари, что так и произойдет, впечатление будет достаточно сильным. А если две шестерки подряд?— Вот счастливчик! — скажем мы и тем самым сразу раскроем наше подсознательное отношение к происходящим событиям.Действительно, если сто человек одновременно бросят по две кости, то две шестерки выпадут лишь у одного, двух, от силы — трех. Это и дает нам основание как-то выделить этих двоих-троих, назвать их счастливчиками. Добавим, однако, что даже у ста человек при одном бросании может не выпасть двух шестерок ни у кого.Наша подсознательная оценка вероятности есть не что иное, как рефлекс, который вырабатывается в результате определения частоты тех или иных событий.События, происходящие часто, мы считаем более вероятными, а события, происходящие редко, — менее вероятными. Если же некоторое событие (например, бросание кости) совершается один раз, то предварительное знание вероятности этого события ровным счетом ничего не дает. Пусть некто выбросил кость. Происходит одно из двух: или выпадает шестерка, или не выпадает. И то и другое может произойти (подчеркнем это еще раз) вне всякой зависимости от величины вероятности того и другого события.На первый взгляд представляется, что в случае так называемых практически достоверных или практически невозможных событий ситуация должна быть несколько иной. Ясно, например, что на Землю падают метеориты, и, следовательно, событие, состоящее в том, что метеорит попадет, скажем, вам на голову, в принципе возможно. Однако вероятность такого события исчезающе мала, мы с полным основанием считаем его практически невозможным. Поэтому и выходим на улицу без противометеоритных зонтиков.Однако мы не пользовались противометеоритными зонтиками и тогда, когда самого понятия вероятности еще не существовало. Рассуждая более строго, можно сказать, что наше поведение или, в более общем случае, реакция некоторой системы будет одной и той же независимо от того, равна ли вероятность данного события, скажем, 0,001 или 0,0001. Иными словами, здесь важна не количественная оценка вероятности, а лишь то обстоятельство, что она очень мала. Причем малость вероятности оценивается опять-таки через частоту (мы не реагируем на очень редкие события) главным образом на основе здравого смысла.Возможно, у некоторых читателей создалось впечатление, что авторы без достаточного почтения относятся к теории вероятностей. Спешим заверить, что это совсем не так. Современная теория вероятностей представляет собой весьма развитый раздел математики, обладающий внутренним совершенством и большой практической ценностью.Все, что говорилось в этой главе, коротко можно сформулировать так. Теория вероятностей оперирует со специальными величинами, исторически получившими название вероятностей. Окружающий нас мир устроен так, что при многократном повторении ситуаций, в которых возможны различные исходы, частота каждого з исходов по мере увеличения числа повторений стремится к некоторой постоянной величине, которая в большинстве случаев совпадает с вероятностью. Поэтому теория вероятностей представляет собой мощное средство для оценки частот. При этом, однако, весьма существенно, что само приближение частоты к вероятности происходит достаточно своеобразно, или, как мы говорим, сходится по вероятности. Именно тот, кто никогда не забывает этого последнего обстоятельства и умеет учитывать его при вычислениях, может считаться хорошим специалистом в теории вероятностей.Мы достаточно хорошо ознакомились с основными свойствами вероятности и можем вернуться к рассмотрению некоего обстоятельства, в котором существенным образом проявляется случайность.