Лев Шеромов - Прозрение

Но эти уравнения обычно имеют неустойчивые решения: нули в знаменателе дробей, разрывы функций или их производных и т.п. То есть, уравнения не всегда дают однозначное решение. И эти неопределенности всегда проявляются в эксперименте .

Простой пример. Построим модель изгиба металлического стержня, сжатого силой, направленной вдоль его оси. Первоначально, для простоты рассуждений, приложим силу не по центру сечения стержня, а несколько сбоку. Получится небольшой рычаг, который, тем не менее, определит направление изгиба. В науке сопротивления материалов выведена точная формула для этого случая – построена математическая модель. Но теперь уменьшим наш рычажок до нуля, т.е. поставим силу точно в середину сечения стержня. Формула остается действительной и покажет, что прогиб будет равен нулю. Но не во всех случаях. При заданной силе и при определенном сочетании параметра упругости материала стержня и характеристики его поперечного сечения (момента инерции) в формуле возникает неопределенность в виде 0/0. Результат эксперимента всегда приводит к тому, что при увеличении силы балка выгнется в кривую, но в какую сторону! Этого предсказать невозможно. Математической модель оказывается бессильной.

Второй, гораздо более сложный пример. Рассмотрим турбулентное течение жидкости в трубе. Например, – воды. Математическая модель движения вязкой жидкости имеется, строго выведена из простейших явлений Природы, не подвергаемым никаким сомнениям. Это, так называемые, дифференциальные уравнения Навье – Стокса. Воспользуемся этой моделью. Возьмем некоторое поперечное сечение трубы и выберем в нем некоторую точку (частицу) с определенными координатами и скоростью. Это будут начальные условия для наших уравнений. Будем искать траекторию движения частицы вдоль течения в трубе (это, так называемое, граничное условие; на стенках трубы скорость жидкости равна нулю). И мы довольно легко найдем ее конкретные положения во времени и пространстве, применяя численный метод решения дифференциальных уравнений. Но попробуем повторить расчет, в точности восстановив начальные условия. Как это ни странно, но мы получим совершенно другую траекторию, и другое положение частицы в заданный момент времени [11]. И сколько бы раз мы не повторяли этот численный эксперимент, каждый раз получатся другие результаты. В чем же дело? Демон Лапласа озадачен. Мы явно наблюдаем случайное явление. Понятно, что оно со всей тщательностью исследовано (странный аттрактор). И доказано, что при решении этих уравнений часто возникают неопределенности. Например, деление на ноль, как в предыдущем примере. Вычисляя вручную, мы могли бы найти этот казус и остановить дальнейшее решение. Но компьютер вычисляет всегда с некоторой погрешностью (число знаков после запятой ограничено) и легко пропускает эту ошибку.

Но позвольте. Тогда в реальном течении жидкости возможна совершенно невероятная ситуация, когда скорость жидкости в некотором месте устремится к бесконечности (деление на ноль!). Но, не будет этого, потому что малейшее возмущение (даже тепловое движение молекул) столкнет частицу с этой неустойчивой траектории, в какую-нибудь сторону. Просто мы используем детерминированную модель, без учета вероятностных явлений. Иногда модель просто перестает соответствовать описываемому явлению из-за разрыва математических функций или их производных. Примером функции с разрывом является тангенсоида, если ее аргумент (угол) переходит через π/2. Например, набегающая на пологий берег волна становится все круче и, наконец, обрывается, разрушаясь.

Таким образом, мы пришли к почти всеобъемлющему объяснению возникновения случайных явлений в природе, так как уравнения Навье – Стокса охватывают все течения всех жидкостей и газов на нашей планете.

Второе серьезное возражение против такого детерминизма заключается в том, что даже теоретически невозможно предоставить демону Лапласа исходные данные для расчета – положения и скорости всех частиц. Во-первых, это практически неосуществимо, во-вторых, мы не можем обеспечить абсолютную точность этих данных. Последнее видно на примере перехода теплоты от горячего тела к холодному. Допустим два тела, между которыми происходит перенос теплоты, просто соприкасаются. Температура прямо связана с кинетической энергией молекул. То есть молекулы более горячего тела двигаются быстрее, чем молекулы холодного. И энергия будет передаваться при столкновениях молекул. Но, если мы имеем дело с классической механикой Ньютона, то скорости в любой момент можно мысленно обратить вспять (сменить знак времени). И система вернется в первоначальное состояние. Никакой неопределенности эта механика не дает. Теплота перейдет назад, от холодного тела к горячему. Но если это «первоначальное состояние» задано не абсолютно точно, то мы вернуться в него не сможем по простой причине, что при последующих столкновениях молекул первоначальная ошибка набегает. И даже небольшая ее величина приведет совершенно к другому результату. Сменив в какой-то момент знак времени, мы опять должны задать точно положения и скорости частиц. И, если мы этого не сделаем, то не придем к начальному состоянию. Опять мы естественно получили случайное явление. И даже мысленная попытка создать абсолютную точность опять приводит к бесконечности, т.е. к неопределенности, как и в предыдущем примере с монетой.

Исторически эта проблема существования случайных явлений в Природе, в первую очередь, в термодинамике, прояснялась с большим трудом, с привлечением великих ученых: Л. Больцмана, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна, Д. Гиббса и др. Эта история подробно описана в книге [16]. Поэтому, если мы примем, что в Природе существует множество неопределенных явлений, результат которых неоднозначен, то нетрудно доказать неизбежность естественного возникновения необратимости, нарастания неопределенности. Для этого надо принять следующую аксиому.

Любая материальная система, существуя во времени рано или поздно попадает в такое состояние, из которого она может перейти в одно из возможных состояний с некоторой вероятностью. Этим утверждается, что в Природе существуют вероятностные явления.

Рисунок 1 иллюстрирует сказанное (стрела времени направлена вправо). Материальная система пришла в состояние A, и далее однозначно переходит в состояние B.

Рис. 1. Возникновение точек бифуркации

Но из этого состояния система имеет возможность перейти в одно из состояний C (точка бифуркации) с различной вероятностью (P 1или P 2). На рисунке она перешла в состояние C 2. Это состояние опять оказалось точкой бифуркации, и из него возможен переход в одно из трех состояний D, опять определенными вероятностями (P 3, P 4или P 5) и так далее. Конечно, точки бифуркации возникают через некоторое время, в зависимости от конкретной системы и ее окружения. Если теперь перенести рассмотренную ситуацию в реальный сложный мир, где эти вероятностные переходы встречаются многократно, и не ограничивать время, то мы приходим к явлению необратимости естественных процессов в Природе. В примере с подбрасыванием монеты мы как раз имеем точку бифуркации.